In der Vorbereitung haben sich die Teilnehmenden in einzelne Teilbereiche der Mathematik und Spieltheorie eingearbeitet und diese Inhalte während der Kursdurchführung gemeinsam vertieft. Anhand von verschiedenen Spielen konnten die theoretischen Grundbegriffe der Spieltheorie und Konzepte der strategischen Entscheidungsfindung praktisch ausprobiert und später reflektiert werden. Dabei wurden vier Werkzeuge eingeführt, um die gewonnen Erkentnisse festzuhalten: Das Begriffslexikon zum Zusammenführen der Begriffsdefinitionen, die Analysebrille als Werkzeug für das mathematische Formalisieren von Entscheidungssituationen, die Taktikkarte als Sammlung von möglichen Strategien und Vorgehensweisen in Spielsituationen sowie der Verhandlungskoffer als Betrachtung der eigenen Position im Kontext der spielerischen Gruppendynamik.

Daraufhin folgte eine interdisziplinäre Vertiefung in den Bereichen Wirtschaft, Psychologie und Informatik, in denen die kennengelernten Zusammenhänge in Form von Projekten weiter erforscht wurden.

Daraus haben sich folgende Dokumentationsthemen entwickelt.

• Mathematische Grundlagen von Benedikt, Hannah und Julian
• Einfluss der Spielstände von Julian
• Kombinatorik von Tymur
• Begriffslexikon als Sammlung der Definitionen aus der Literatur von Clara
• Spieltheoretische Grundbegriffe von Jasmin und Marijke
• Differenzierung zwischen Spielformen und rationales Entscheidungsverhalten von Anna-Lena
• Rational und taktisch entscheiden von Elly, Tim, Jinhon und Jakob
• Verhandlungen durch mathematische Abschätzungen von Ben, Helena und Luna
• Wie Leverage Spielsituationen steuert von Luis
• Interdisziplinäres Projekt: Informatik: die Werwolf Simulation von Julian, Tim und Tymur
• Interdisziplinäres Projekt: Wirtschaftlicher Nutzen der Spieltheorie von Benedikt, Elly und Jasmin
• Interdisziplinäres Projekt: Psychologische Betrachtung des Spiels von Anna-Lena und Marijke

Für die Dokumentation haben wir uns dazu entschieden, in unseren Texten durchgehend das Gendersternchen zu verwenden. Studien zeigen, dass die Verwendung des generischen Maskulinums weibliche Personen weniger vorstellbar oder sichtbar macht als männliche Personen. Deshalb hat sich das Gendersternchen für uns angeboten, um die Gleichstellung aller Menschen, unabhängig von ihrem Geschlecht und ihrer Geschlechteridentität sprachlich auszudrücken. Zudem steht es für Vielfalt und trägt somit zu einer inklusiven Sprache bei. Wir haben uns ebenfalls dazu entschieden, Fachbegriffe zu gendern, also Spieler*innenmenge statt Spielermenge.

Bei deterministischen Experimenten ist der Ausgang bei gleichen Rahmenbedingungen jedes Mal derselbe und kann daher vorhergesagt werden. Sie werden oft in den Naturwissenschaften untersucht, zum Beispiel in der Physik oder Chemie (Bielagk, 2019).
Doch bei Zufallsexperimenten kann trotz gegebener Rahmenbedingungen der Ausgang nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden. Es ist zwar bekannt, welche Ausgänge möglich sind, jedoch sind auch unter gleichen Voraussetzungen die Ergebnisse des Versuchs nicht immer gleich (Bielagk, 2019).

Ein typisches Beispiel dafür ist der Würfelwurf. Der Grundraum (Menge aller möglichen Ergebnisse) kann definiert werden durch:   

                                    Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Trotzdem lässt sich im Voraus nicht wissen, welches Ergebnis eintreffen wird (Bielagk, 2019).

Um spieltheoretische Entscheidungssituationen analysieren zu können, ist es zunächst hilfreich, einige mathematische Werkzeuge kennenzulernen. Mit diesen kann man folgend strategische Entscheidungen zum Beispiel in Würfel- oder Kartenspielen bewerten und in die Entscheidungsfindung miteinbeziehen.

Zufallsvariable

Ein Werkzeug in der Stochastik ist die Zufallsvariable. Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments, also jedem möglichen Ausgang, eine reelle Zahl zuordnet. Der Großbuchstabe (i.d.R. $X$) ist hierbei die Zufallsvariable an sich, während der Kleinbuchstabe ($x_1, x_2…$) für die konkreten Werte steht, die die Zufallsvariable annehmen kann.

Es gilt: $X: \Omega → \mathbb{R}, ω ↦ X(ω)$

Das bedeutet, dass die Zufallsvariable $X$ die Menge Ω, also die Menge, die alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments umfasst, in die Menge der reellen Zahlen abbildet. Es wird also jedem einzelne Ergebnis $\omega$ genau eine reelle Zahl zugeordnet.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, wird durch $P(X=x)$ dargestellt.

Man unterscheidet zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen. Diskrete Zufallsvariablen können nur eine endliche Anzahl an Werten annehmen.

Bsp.: Es wird einmal gewürfelt.

Stetige Zufallsvariablen sind überabzählbar, können also in einem Intervall jeden Wert mit theoretisch beliebig vielen Nachkommastellen annehmen (Köhler, Bigalke, Ledworuski, Kuschnerow (2011), S.). Hierfür ist das Geburtsgewicht von Säuglingen ein Beispiel. Da man nicht die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln kann, dass ein Säugling ein exaktes Gewicht hat, betrachtet man Intervalle.

Bsp.: Die Aachener Zeitung gibt an, dass rund 37% der 2008 in Deutschland geborenen Säuglinge ein Geburtsgewicht zwischen 3000 und 3500 Gramm und 30% zwischen 3500 und 4000 Gramm hatten (Aachener Zeitung, 2010). Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person aus dem Jahrgang 2008 ein Geburtsgewicht zwischen 3000 und 4000 Gramm hatte?

Erwartungswert

Bei dem Erwartungswert handelt es sich um einen gewichteten Mittelwert aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments. Beschrieben wird der Erwartungswert durch $E(X)$ bzw. $\mu$. Um den Erwartungswert zu berechnen, muss man die Werte der Zufallsvariablen mit ihrer Wahrscheinlichkeit multiplizieren und diese Werte dann addieren. Dies lässt sich in der folgenden Formel zusammenfassen:

Mithilfe des Erwartungswertes kann man den Nutzen bestimmter Strategien ermitteln und so verschiedene Strategien bewerten.

Bei Glücksspielen ist außerdem zu beachten, dass man den Einsatz vom Erwartungswert des Gewinns abziehen muss, um die erwartete Auszahlung zu ermitteln. Ein Glücksspiel gilt als fair, wenn $E(X)=0$ (Köhler, Bigalke, Ledworuski, Kuschnerow (2011), S.240).

Bsp.: Bei einem Würfelspiel mit einem Einsatz von $2€$ wird einmal gewürfelt. Man erhält als Gewinn die Augenanzahl, die man würfelt. Ist dieses Spiel fair?

Aus dieser Berechnung kann man schließen, dass bei dem oben beschriebenen Spiel eine Auszahlung von durchschnittlich $1,50€$ zu erwarten sind. Es ist also nicht fair. Besonders ist bei diesem Spiel zu beachten, dass es sich um Laplace-Wahrscheinlichkeiten handelt, da jeder einzelne Ausgang des Spiels mit einer gleich großen Wahrscheinlichkeit eintritt.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Betrachtet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A, wenn man weiß, dass ein Ereignis B bereits eingetreten ist, dann spricht man von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch folgende Formel berechnen:

Weiß man, dass B bereits eingetreten ist, tritt A genau dann ein, wenn A∩B eintritt. A∩B ist die Schnittmenge von A und B. Sie umfasst alle Ergebnisse, die sowohl zu Ereignis A, als auch zu Ereignis B gehören. Man nimmt also gewissermaßen B als neuen Grundraum, in dem man die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, ermittelt (Bielagk (2019), S.25).

Bsp.: Bei einem Spiel wird zweimal gewürfelt. Das ist es, in der Summe der Augenzahlen genau auf 7 zu kommen. Du hast beim ersten Mal ein 4 gewürfelt. Wie wahrscheinlich ist es, dass du genau auf die 7 kommst?

Wir definieren zunächst zwei Ereignisse:

A: Summe 7 ; B: beim ersten Wurf 4

Satz von Bayes

Es gilt:

und:

Beide Formeln können umgeformt werden zu:

Wenn man dies in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzt, erhält man:

Damit ist der Satz von Bayes bewiesen.

Bsp: Es wurde zweimal gewürfelt. Du weißt, dass die Summe 7 ist. Wie wahrscheinlich ist es, dass der erste Würfel die Augenzahl 4 gezeigt hat?

Hierfür haben wir wieder die beiden Ereignisse aus „Bedingte Wahrscheinlichkeiten“:

A: Summe 7 ; B: beim ersten Wurf 4

Außerdem ist uns folgende Wahrscheinlichkeit bekannt:

Somit ergibt sich folgende Rechnung:

Literaturverzeichnis

Bielagk, J. (2019). Stochastik. https://www2.mathematik.hu-berlin.de/~bielagk/Stoch_BA_Skript_ohne.pdf

Bigalke, A., Köhler, N., Kuscherow, H., Ledworuski, G. (2011). Mathematik. Von Cornelsen

Brandt, D., Bucholzki, W., Giersemehl, I., Jörgens, T., Jürgensen-Engl, T., Lohmann, J., Riemer, W., Spielmans, H., Sonntag, R., Stump, A. (2025). Lambacher Schweizer Mathematik Qualifikationsphase Leistungskurs/ Grundkurs. Von Klett

Im Spiel „Guess who?“ versuchen zwei Spieler*innen jeweils durch Ja-Nein-Fragen aus den Karten der gegnerischen Person (Kartenpool) deren vorhergewählte Karte (geheime Karte) zu erraten. Ziel ist es, die Karte vor dem/der Gegner/-in zu finden. Jeder Spieler stellt immer abwechselnd eine Frage. Die Idee ist nicht, dass man bei jeder Karte einzeln fragt, ob es die richtige sei. Um möglichst ohne Risiko zu spielen, könnte man durch die Frage die Karten in zwei Hälften aufteilen. Durch das Ausschlussverfahren und mehrfaches Fragen gelangt man schließlich auf nur noch eine Karte. Nun stellt sich die Frage: Was ist die optimale Strategie? Wie wägt man zwischen Risiko und Gewinnwahrscheinlichkeit ab?

Der obige Graph simuliert den Verlauf des Spiels „Guess who?“ mit zwei Spieler*innen. Dabei haben beide Spieler*innen am Anfang 20 Karten. Während des Spiels ändert sich die Anzahl der Karten. Im Graphen wird das durch $n, m \in \mathbb{N}$ (x- und y-Achse) dargestellt. In jedem Zug verringert ein/-e Spieler/-in den Kartenpool um einen bestimmten Betrag. Dafür stellt er/sie eine Frage, die den Pool um $b \in \mathbb{N}$ mögliche Karten verringern kann.

Die Strategie von Spieler*in 1 (rot) ist: $b = \frac{1}{2} \cdot n$. Diese Strategie wird binäre Suche genannt. Sie bietet das geringste Risiko.

Die Strategie von Spieler*in 2 (schwarz) ist deutlich riskanter. Er*sie bemerkt, im Nachteil zu sein und immer einen Schritt hinter Spieler*in 1 zu liegen. Daher entscheidet er*sie sich für $b < \frac{1}{2} \cdot m$. Er*sie nimmt damit die Möglichkeit für einen noch größeren Nachteil in Kauf, kann dafür aber auch mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{b}{m}$  die eigene Spielsituation verbessern. Je schlechter die Position von Spieler 2, desto extremer/kleiner wählt er/sie sein b. Wenn Spieler*in 2 weit hinten liegt, muss er/sie dieses Risiko eingehen, um wieder zu Spieler*in 1 aufzuholen. Zum Beispiel hat Spieler*in 2 in seiner*ihrer dritten Runde (Spielstand: Punkt F) b = 1 gewählt, da er/sie wusste, dass Spieler*in 1 im nächsten Zug (Punkt G) auf jeden Fall gewinnen wird. Dieser letzte verzweifelte Versuch mit geringer Gewinnwahrscheinlichkeit wird manchmal auch als Hail Mary bezeichnet. Die optimale Strategie für Spieler*in 2 wäre, während er*sie im Rückstand ist, $b = 2^{\lfloor \log_2(n-1) \rfloor}$ und ist damit abhängig von der aktuellen Kartenanzahl n von Spieler*in 1. Durch die Gaußklammern wird immer auf die nächstkleinere Zweierpotenz unterhalb von n abgerundet (Nica, 2025).

Das Anpassen der Spielweise an die aktuellen Spielstände hat sich auch in unserem Kurs gezeigt. Im Verlauf des Spiels „Flip 7“ kann man seine Punktzahl erhöhen, indem man das Risiko eingeht, eine Karte vom Stapel zu ziehen. Das hängt einerseits vom Erwartungswert ab, also wie viele vorteilhafte Karten noch im Stapel sind und wie wahrscheinlich es ist, diese zu ziehen. Andererseits gibt es hier auch wieder eine Strategieanpassung wie in „Guess Who?“. Die Spieler*innen müssen immer wieder abwägen, ob es sich lohnt, das Risiko einzugehen, abhängig vom Punktestand der Gegner*innen.

Allgemein würde ich die Frage, ob sich der Spielstand auf die Spieler*innen und deren Entscheidungen auswirkt, mit Ja beantworten. Oft muss man bei Spielen, wenn man im Rückstand ist, ein Risiko eingehen. Dieses Risiko lässt sich mathematisch darstellen, um zu überprüfen, ob dadurch die Gewinnwahrscheinlichkeit steigt.  Persönlich finde ich aber, dass der Spielstand oft auch noch viele weitere Faktoren beeinflussen kann. Ein Beispiel dafür ist das Spiel „Coup“. Hier kann durch Kooperationen und Koalitionen die eigene Gewinnwahrscheinlichkeit auch deutlich erhöht werden. Jedoch hat sich beim Spielen gezeigt, dass Kooperation gegen Ende des Spiels immer schwächer werden, da nur eine Person gewinnen kann.

Literaturverzeichnis

Nica, M. (2025). Optimal Strategy in “Guess Who?”: Beyond Binary Search.

*Optimal Strategy in „Guess Who?“: Beyond Binary Search

Permutationen 

Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Weisen eine gegebene Menge von Elementen geordnet werden kann.  

Eine Permutation ohne Wiederholung liegt vor, wenn alle Elemente der Reihenfolge paarweise verschieden sind.  Als Beispiel nimmt man 5 verschiedene Steine. Wenn man nun berechnen möchte, wie viele verschiedene Anordnungen man aus diesen 5 Steinen bilden kann, schaut man sich zunächst die erste Position an. Für die erste Position gibt es alle 5 Steine zur Auswahl. Danach hat man nur 4 für die zweite, da einer schon auf der ersten Position ist. Analog hat man 3 für die dritte und 2 für die vierte. Auf der fünften Position hat man den letzten Stein übrig. Multipliziert man alle diese Möglichkeiten für jeden Platz, bekommt man eine Antwort: 5! =120 Reihenfolgen. 

Diese Aufgabe kann man verallgemeinern, indem man n Steine anstatt 5 hat. Analog ist die Antwort n!  

Die Anzahl aller Permutationen ohne Wiederholung ist immer n!, wobei n die Anzahl der Elemente in der Reihenfolge ist. 

Im Vergleich zu dem letzten Beispiel hat man bei der Permutation mit Wiederholung Elemente, die gleich sind. Das heißt, dass man aus einem Beispiel mit verschiedenen Elementen alle Reihenfolgen weglassen sollte, die wegen einer Gleichheit der Elemente auch jetzt gleich sind. Man nimmt an, aus dem Beispiel mit den Steinen, man hat rote, schwarze, blaue, und 2 grüne, dann sind die Reihenfolgen: 

R, S, B, G1, G2 und R, S, B, G2, G1 genau gleich. Die Anzahl solcher wiederholten Reihenfolgen ist die Anzahl aller Permutationen der gleichen Elemente. Um dieses Problem zu lösen, berechnen wir erstmal alle Permutationen, und dann teilt man durch alle Permutationen der gleichen Elemente.  

Die Anzahl aller Permutationen mit Wiederholung ist immer $\frac{n!}{k!}$ , wobei n eine Anzahl der Elemente in der Reihenfolge ist und k die Anzahl der gleichen Elemente. 

Kombinationen 

Bei einer Kombination geht es um alle mögliche Auswahlen der k Elemente von n. Die Reihenfolge der ausgewählten Elemente ist dabei nicht wichtig.  

In der Kombination ohne Wiederholung kann man ein Element nur einmal zur Anordnung auswählen. Man nimmt an, man sollte aus 5 verschiedenen Steinen 2 auswählen. Für die Auswahl von dem ersten Stein hat man 5 Möglichkeiten und 4 für den zweiten. Da deren Reihenfolge nicht wichtig ist, sollte man durch die Anzahl aller Permutationen der ausgewählten Steine teilen. Dann ist die Antwort: $\frac{5\cdot 4}{2}=10$ Möglichkeiten 2 Steine aus 5 auszuwählen. 

Nimmt man an, man hat n Steine und sollte k auswählen dann gibt es n Möglichkeiten für den ersten, n-1 für den zweiten und so weiter, bis die Anzahl der Faktoren k erreicht. Das lässt sich wie folgt aufschreiben: $\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$ . Aus der Regel der Fakultäten bekommt man somit im Zähler k Faktoren bei der Multiplikation. Am Ende sollte man durch die Anzahl aller k Permutationen teilen, da die Reihenfolge unwichtig ist. Dann gilt: 

Die Anzahl aller Kombinationen ohne Wiederholung ist immer $\frac{n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}$ , wobei n eine Anzahl der Elemente in der Menge ist und k die Anzahl der Elemente die zu auswählen sind. Diese Formel lässt sich kürzer als Binomialkoeffizient aufschreiben. Das wäre dann: $\binom{n}{k}$ (n über k)

Kombinationen mit Wiederholung sind dadurch gekennzeichnet, dass ein vorgegebenes Element in der Auswahl mehrmals auftreten kann. Es liegt eine “Auswahl mit Zurücklegen” vor. In diesem Fall kommen durch das Zurücklegen praktisch k-1 Elemente hinzu. Daher muss an Stelle des Binomialkoeffizienten “n über k” jetzt der Binomialkoeffizient “n+k-1 über k” berechnet werden: 

Die Anzahl aller Kombinationen mit Wiederholung ist immer $\binom{n+k-1}{k}=\frac{\left(n+k-1\right)!}{k!\cdot \left(n-1\right)!}$ , indem n eine Anzahl der Elemente in der Menge ist und k die Anzahl der Elemente die zu auswählen sind. Da die Elemente mehrmals auftreten können, muss man noch k-1 hinzufügen.

Variationen 

Eine Variation ist eine Kombination, bei der die Reihenfolge der ausgewählten Elemente auch wichtig ist. Das heißt, dass hier auch die Permutationen gebildet werden können. 

Bei einer Variation ohne Wiederholung kann man ein Element nur einmal zur Anordnung auswählen. Man nimmt an, man muss aus 5 verschiedenen Steinen 2 auswählen, von denen der erste verkauft und der andere verschenkt werden. Im Vergleich zum Beispiel mit Kombination, ist hier wichtig, welcher zu verkaufen und welcher zu verschenken ist. Das bedeutet, dass nach der Auswahl von den beiden die Anzahl der Permutationen auszurechnen ist. Das erste macht man mit einem normalen Binomialkoeffizienten $\binom{5}{2}$ , dann multipliziert man den mit der Anzahl der Permutationen 2!. Das kürzt sich dann mit einem Faktor im Nenner. 

Die Anzahl aller Variationen ohne Wiederholung ist immer $\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$ , wobei n eine Anzahl der Elemente in der Menge ist und k die Anzahl der Elemente die zu auswählen sind. Die Reihenfolge der k Elemente ist hier berücksichtigt. 

Bei einer Variation mit Wiederholung kann man jedes Element mehrmals zur Anordnung auswählen. Man nimmt an, man hat unendlich viele Steinen der 5 Arten. Man soll 2 von ihnen auszuwählen, um sie zu verschenken und zu verkaufen. Dann hat man 5 Möglichkeiten für ersten Stein, aber auch 5 Möglichkeiten für den zweiten. Insgesamt sind das $5^2=25$ Möglichkeiten. Wenn man n Arten hat und k Steine für verschiedene Ziele braucht, somit gibt es $n^k$ Möglichkeiten.

Die Anzahl aller Variationen mit Wiederholung ist immer $n^k$, wobei n eine Anzahl der möglichen Elemente in der Menge ist und k die Anzahl der Elemente, die auszuwählen sind. Die Reihenfolge der k Elemente ist hier berücksichtigt. Dabei kann man gleiche Elemente auswählen. 

Permutation, Variation oder Kombination 

Die hier stehende Folge von Fragen hilft auf eine einfache Weise feststellen, ob man bei einer Aufgabe Permutation, Variation oder Kombination benutzt. 

1. Geht es um ein Anordnungsproblem einer Menge oder ein Auswahlsproblem 

• Anordnung -> Permutation -> Frage 2 

• Auswahl -> Variation oder Kombination -> Frage 3 

2. Sind alle Elemente der Reihenfolge unterschiedlich? 

• Ja -> Permutation ohne Wiederholung 

• Nein -> Permutation mit Wiederholung 

3. Braucht man nach der Auswahl die Anordnung zu berücksichtigen? 

• Ja -> Variation -> Frage 4 

• Nein -> Kombination -> Frage 5 

4. Kann ein Element mehrmals bei der Auswahl vorkommen? 

• Ja -> Variation mit Wiederholung 

• Nein -> Variation ohne Wiederholung 

5. Kann ein Element mehrmals bei der Auswahl vorkommen? 

• Ja -> Kombination mit Wiederholung 

• Nein -> Kombination ohne Wiederholung

Zusammenfassend wird das nochmal in Abbildung gezeigt:

(Universität Kassel. n.d.)

(Bourier, G. 2009)

(Doucet-Rosenstein, D. 1981)

Binomialkoeffizienten-Vertiefung. Es sei M eine Menge. Ist M endlich, so bezeichnen wir mit |M| die Anzahl der Elemente in M. Hat M die Länge n, so nennen wir M eine n-Menge. Mit P(M) bezeichnen wir die Menge aller Teilmengen von M, einschließlich der leeren Menge ∅ und M selbst. P(M) heißt die Potenzmenge von M. 

Ist M eine n-Menge, so ist |P(M)|=2ⁿ 

Über jedes Element von M kann man entscheiden, ob dieses bei einer Teilmenge dabei ist oder nicht. Solche Entscheidung bei der Auswahl allen Elementen führt zu allen entsprechenden Teilmengen. Daher ist |P(M)|=2ⁿ  

Ist X ∈ P(M) und ist |X| = k, so nennen wir X eine k-Teilmenge von M. Die Menge aller k-Teilmengen von M bezeichnen wir mit P_k(M). Ist M eine n-Menge, so setzen wir |P_k(M)|=$\ \binom{n}{k}$. Die Zahlen$\ \binom{n}{k}$heißen Binomialkoeffizienten. 

n und k seien nicht-negative ganzen Zahlen. Dann gilt: 

a) $\ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$

b) $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$

c) $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\quad \mathrm{und}\quad \binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n$

d) $\sum _{i=0}^n\binom{n}{i}=2^n$

e) $\binom{n}{k}\le \binom{n+1}{k}$

f) $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}$

Alle Formeln lassen sich aus der Formel mit Fakultäten herausleiten (Lüneburg, H. 1971). 

Literaturverzeichnis 

• Universität Kassel. (n.d.). Dokument / Skript. Fachbereich 07 Wirtschaftswissenschaften. https://www.uni-kassel.de/fb07/index.php?eID=dumpFile&t=f&f=2915&token=5c343b5f2460dc1ce391f7766b0d01e7776bc73b 

• Lüneburg, H. (1971). Kombinatorik (Band 4). Birkhäuser. 

• Bourier, G. (2009). Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik: Praxisorientierte Einführung; mit Aufgaben und Lösungen (6. Aufl.). Gabler Verlag. 

• Doucet-Rosenstein, D. (1981). Die Kombinatorik als Methode der Wissenschaften bei Raimund Lull und G. W. Leibniz [Dissertation, Ludwig-Maximilians-Universität München]. 

Spieltheorie: „Spieltheorie ist die Analyse strategischer Entscheidungssituationen, in denen mehrere Spiele miteinander interagieren. Dabei ist das Resultat eines Spiels von den Entscheidungen der Mitspieler*innen abhängig und alle Spieler*innen sind sich dessen bewusst.“

Quelle: Spieltheorie Prof. Dr. Bernhard Nebel, Uni Freiburg

Taktik: Wenn die Strategie die kontextspezifische Verwendung verschiedener Verhaltensoptionen widerspiegelt, müssen wir eine Möglichkeit haben, die verfügbaren Optionen zu beschreiben. (vgl. Behavioral Strategizing Among Animals, Nicole M., Matthew J.(2025))

Quelle: Behavioral Strategizing Among Animals: A Systems Approach, Integrative and Comparative Biology, Oxford University Press 2025 von Nicole M Moody, Matthew J Fuxjager

Strategie: Eine Strategie beschreibt die Auswahl einer Handlung aus mehreren möglichen Optionen unter Berücksichtigung verfügbarer Informationen und relevanter Faktoren. Dabei können beispielsweise Kosten, Zeit, Bequemlichkeit, Verkehr oder eigene Erfahrungen die strategische Entscheidung beeinflussen (vgl. Moody & Fuxjager (2025)).

Quelle: Behavioral Strategizing Among Animals: A Systems Approach, Integrative and Comparative Biology, Oxford University Press 2025 von Nicole M Moody, Matthew J Fuxjager

Spiel: Ein Spiel beschreibt „eine Interaktion zwischen Spieler*innen, wobei alle Spieler*innen eine Anzahl möglicher Aktionen haben“ (o. V. (2024), S. 5). Zu den grundlegenden Merkmalen zählen außerdem der Selbstzweck, die Wiederholung und das Ritual sowie der Gegenstandsbezug (vgl. Oerter (2007), S. 8–9).

Quellen: Oerter, R. (2007). Zur Psychologie des Spiels. Von SSOAR; O.V. (2024). Spieltheorie. Aus Vorbereitungsmaterial zum Bonner Matheturnier (https://www.ru.nl/sites/default/files/2024-09/Vorbereitungsmaterial%20Bonner%20Matheturnier.pdf)

Nutzen: Nutzen beschreibt den Wert, den ein Spieler einem möglichen Ergebnis beimisst. Je höher der Nutzen eines Ergebnisses, desto stärker wird dieses von dem Spieler bevorzugt. (vgl. Kirchkamp 2024)

Quelle: https://www.kirchkamp.de/spiel/pdf/spiel_druck.pdf

Kooperation: Kooperation ist eine politische, wirtschaftliche oder soziale Strategie, bei der durch Zusammenarbeit und Austausch mit anderen der eigene mögliche Nutzen mit dem Nutzen der  Kooperationspartner abgestimmt wird. (vgl. Schubert/Klein 2020, Politiklexikon)

Quelle: https://www.bpb.de/kurz-knapp/lexika/politiklexikon/17749/kooperation/

Nutzenfunktion: Die Nutzenfunktion ordnet jedem möglichen Spielausgang einen reellen Zahlenwert zu, der den Grad der Präferenz oder den Gewinn eines Spielers repräsentiert. So wird deutlich, wie stark ein*e Spieler*in das jeweilige Gesamtergebnis der gewählten Kombination aller Aktionen gegenüber anderen Alternativen bevorzugt.

Quelle: Holler, M., Illing, G. (2006). Einführung in die Spieltheorie (6. Auflage)

Nullsummenspiel: Ein Nullsummenspiel beschreibt ein Spiel, bei dem die Summe der Auszahlungen, Nutzen oder Gewinne, aller Spieler*innen für jeden möglichen Spielausgang genau null ergibt.

Quelle: Bergfeld, J., Bleckmann, G, et al., 2024, S. 7 f.

Der Gewinn eines oder mehrerer Spieler*innen ist somit genau gleich der Summe der Verluste der übrigen Spieler*innen. Ein Spiel, dass nicht auf eine jeweilige Summe von Null hinausläuft, ist ein Nicht-Nullsummenspiel.

Quelle: Bergfeld, J., Bleckmann, G, et al., 2024, S. 7 f.

Strategische Form: Die strategische Form stellt die möglichen Strategien der Spieler*innen und die daraus resultierenden Nutzen in einem simultanen Spiel dar. Sie ermöglicht den Vergleich verschiedener Strategien und die Bestimmung von Nash-Gleichgewichten, Pareto-Optima und dominanten Strategien (vgl. Holler & Illing (2006); Tadelis (2013), S. 130–131

Simultanes Spiel: Ein simultanes Spiel liegt vor, wenn die Spieler*innen ihre Entscheidungen treffen, ohne die Strategie bzw. Entscheidung des Gegenspielers zu kennen. Die Entscheidungen erfolgen dabei unabhängig voneinander, gegebenenfalls zum gleichen Zeitpunkt (vgl. Hanauske (2016); Winter (2015), S. 44).

Quellen: M. Hanauske 2016 Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer 1.1.1 Definition des Spiels

Stefan Winter 2015 Grundzüge der Spieltheorie Seite44 ISBN: 978-3-662-44421-4

Nicht-kooperative Spieltheorie: Sie beschreibt Spiele, in denen die Spieler*innen unabhängig und eigeninteressiert handeln, ohne bindende Verträge oder Koalitionen. Mögliche Kooperation entsteht dabei nur, wenn sie sich selbst durchsetzt (self-enforcing). Ein zentrales Lösungskonzept ist das Nash-Gleichgewicht (vgl. Nash (1951), S. 286; Dilger (2022)).

Quellen: Nash, John: Non-Cooperative Games, in: The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 54, No. 2 (Sept. 1951), S. 286-295.

Dilger, Alexander: Spieltheorie, in: Staatslexikon8 online, Version vom 08.06.2022, 09:10 Uhr, URL:

https://www.herder.de/staatslexikon/artikel/spieltheorie/ (abgerufen: 17.08.2026).

Informationstheorie: Information erweitert das Wissen und verringert Unsicherheit (vgl. Chen (2021), S. 2). In der Spieltheorie wird zwischen vollständiger und unvollständiger Information unterschieden. Bei letzterer verfügen Spieler*innen über private Informationen, die anderen nicht zugänglich sind, wie etwa beim Poker (vgl. Gibbons (1996), S. 7; Holler & Illing (2006), S. 79 f.).

Quellen: Xiofeng Chen, R. (2021) A Brief Introduction to Shannons Information Theory.

Holler, M. & Illing, G. (2006). Einführung in die Spieltheorie. (6. Aufl.) In Springer-Lehrbuch. https://doi.org/10.1007/3-540-29948-3; Gibbons, R. (1996) An introduction to applicable game theory.

Die aufgelisteten Definitionen sind wichtige Grundlagen zum tieferen Verständnis des Konzeptes von Entscheidungssituationen (Spielen) und Spieltheorie. Unterthemen dieser Konzepte werden in weiterfolgenden Dokumentationen aufgegriffen.

Das Grundprinzip des Gefangenendilemmas
Das Gefangenendilemma ist ein klassisches Beispiel aus der Spieltheorie. Es handelt sich um eine Situation, in der individuell rationales Verhalten einzelner Spieler zu einem für die Gruppe nicht optimalen bzw. nicht pareto-optimalen Ergebnis führt. (Peukert, o.D.) Die Spieltheorie untersucht dabei allgemein Entscheidungssituationen, in denen das Ergebnis von den Entscheidungen mehrerer Personen abhängt (Peham, C., Haslinger, K., 2009/10).

Man stelle sich folgendes Szenario vor: Zwei verdächtige Personen müssen unabhängig voneinander entscheiden, ob sie ein schweres Verbrechen gestehen oder schweigen. Schweigen beide, erhalten sie jeweils eine geringere Strafe von jeweils zwei Jahren, da sie dann nur wegen kleinen Delikten angeklagt werden würden. Gestehen beide, werden sie zu jeweils fünf Jahren verurteilt. Gesteht hingegen nur eine*r, kommt diese frei, während der/die andere die Höchststrafe von acht Jahren erhält (Holler, M., Illing, G., 2006, S.2).

Die beiden gefangenen Personen stehen damit vor einem strategischen Entscheidungsproblem, denn sie müssen gleichzeitig entscheiden, ohne die Entscheidung des/der jeweils anderen zu kennen. Eine Kommunikation zur Koordinierung ihrer Entscheidungen sowie bindende Vereinbarungen sind nicht möglich, daher handelt es sich um ein nicht-kooperatives Spiel (Holler, M., Illing, G., 2006, S.5).

Im Gefangenendilemma hat jede*r Spielende zwei mögliche reine Strategien: „Gestehen“ und „Nicht gestehen“. Eine reine Strategie liegt vor, wenn ein*e Spieler*in seine/ihre Handlung eindeutig festlegt und nicht zufällig zwischen verschiedenen Handlungen wählt (Arnold, E., 2009).

Da jeder der beiden Spielenden über zwei mögliche Strategien verfügt, ergeben sich insgesamt vier mögliche Strategiekombinationen. Diese vier Möglichkeiten sind:

1. Spieler*in 1 schweigt, Spieler*in 2 schweigt.
2. Spieler*in 1 schweigt, Spieler*in 2 gesteht.
3. Spieler*in 1 gesteht, Spieler*in 2 schweigt.
4. Spieler*in 1 gesteht, Spieler*in 2 gesteht.

(Holler & Illing, 2006)

Das lässt sich zunächst in einer Ereignismatrix darstellen. In dieser Matrix wird dargestellt, welches konkrete Ergebnis aus der jeweiligen Kombination der Strategien entsteht.

Für die spieltheoretische Analyse wird anschließend die Auszahlung betrachtet. Diese beschreibt den Nutzen, den ein*e Spieler*in aus einem bestimmten Spielergebnis erhält. Die möglichen Ergebnisse werden deshalb in einer Auszahlungsmatrix durch Nutzenwerte dargestellt. Eine höhere Zahl bedeutet einen höheren Nutzen (Holler, M., Illing, G., 2006, S.4).

Ein Spielbaum stellt alle möglichen Abläufe eines Spiels übersichtlich dar. Jeder Knoten zeigt, welcher Spieler zu welchem Zeitpunkt am Zug ist, und die Äste zeigen, welche Handlungsmöglichkeiten er hat. Außerdem wird dargestellt, welche Informationen der Spieler in diesem Moment besitzt. Diese Darstellung nennt man die sequentielle bzw. extensive Form eines Spiels (Holler, M., Illing, G., 2006, S.13). Im unten aufgezeigten Spielbaum für das Gefangenendilemma steht S für Strategiekombination.

Nash-Gleichgewicht und Pareto Optimum

Welche Strategie eignet sich am besten für die Spieler? Diese Frage wird im folgenden Absatz anhand vom Nash-Gleichgewicht und Pareto Optimum näher untersucht. 

,,It would survive an announcement test: if all players announced their strategies simultaneously, nobody would want to reconsider.”(,,Es würde einen Ankündigungstest bestehen: Wenn alle Spielenden ihre Strategien gleichzeitig bekannt gäben, würde niemand seine Entscheidung überdenken wollen.“) (Holt & Roth, 2004, S.1) Hierbei handelt es sich, um das im Jahr 1950 eingeführte Nash- Gleichgewicht von John Forbes Nash, das mit einem Nobel- Preis im Bereich Wirtschaft ausgezeichnet wurde. Im Kern geht es darum: Die verfolgte Strategie ist die bestmögliche Antwort auf die Strategien der weiteren Spielern in diesem Spiel. (Holt & Roth, 2004, S.1f) Kein Spieler verspürt den Anreiz, von seiner Gleichgewichtsstrategie abzuweichen und die ausgewählte Strategie wird als optimal angesehen (Holler et al., 2019, S.64).

Bei einem n-Personen-Spiel mit n Spielenden und einer endlichen Menge an reinen Strategien wird jeder Strategiekombination (einem sogenannten n-Tupel, einer Kombination aus je einer Strategie pro Spieler*in) eine bestimmte Menge an Auszahlungen zugeordnet. Es ist möglich genau vorherzusagen, wie sich Menschen in einem Spiel verhalten werden als auch in unvorhersehbare Situationen. Durch das Nash- Gleichgewicht kann ermittelt werden, wo ein Spannungsverhältnis zwischen individuellen Anreizen und anderen Beweggründen besteht (Holt & Roth, 2004, S.1f).

Zur Veranschaulichung des Nash-Gleichgewichts, bietet sich das Gefangenendilemma an, das zuvor erläutert wurde: Die Spielenden sind in der Lage, die optimale Strategie unabhängig von der Entscheidung der Mitspieler auszuwählen, das eine strikt dominante Strategie darstellt (Holler & Illing, 2006, S.9).

Bei diesem Dilemma tritt das Gleichgewicht ein, wenn beide Gefangenen gestehen, also einander verraten. Der Nutzenindex beträgt in diesem Fall (2;2), denn es ist die individuell bestmögliche Strategie für beide Spieler, da das Risiko vermieden wird, selbst verraten zu werden und die vergleichsweise höhere Strafe von 8 Jahren zu erhalten. Wenn beide Spielende kein Geständnis ablegen, beträgt die Strafe nur 2 Jahre und der Nutzenindex läge bei (3;3), dadurch ist er höher gestellt (Holler & Illing, 2006, S.2f).

Nicht individuell, sondern als Gruppe betrachtet ist die beste Strategie, für beide Spielenden nicht zu gestehen. Dadurch entsteht eine beidseitige Kooperation, das sogenannte Pareto Optimum, benannt nach Vilfredo Pareto. Bei einer Pareto-Verbesserung würde – ohne das die Auszahlung eines Spielenden verringert wird – mindestens eine weitere spielende Person eine höhere Auszahlung erhalten. Das Gegenteil wird als pareto-inferior bezeichnet. (Diekmann, 2013, S. 34; 235) Die beiden oben beschriebene Konzepte werden als Lösungsansatz betrachtet, welche Strategie sich für den Spielenden anbietet.

In unserem Kurs haben wir das Spiel „Split or Steal“ gespielt. Dabei geht es darum, dass zwei Personen gleichzeitig, aber unabhängig voneinander entweder „Split“ oder „Steal“ auswählen. Bei Split entscheidet man sich dafür, den Gewinn mit der anderen Person zu teilen. Bei Steal versucht man dagegen, den gesamten Gewinn für sich zu bekommen. Die Punkteverteilung hing dabei von den Entscheidungen beider Spieler ab: Wenn sich beide für „Split“ entschieden, erhielten beide 4 Punkte. Wenn beide „Steal“ wählten, erhielten beide 0 Punkte. Entschied sich eine Person für „Steal“ und die andere für „Split“, bekam die Person mit „Steal“ 6 Punkte, während die Person mit „Split“ 1 Punkt erhielt.

Man durfte zwar vorher gemeinsam Absprachen treffen, musste aber letztendlich darauf vertrauen, dass sich die andere Person auch an die Absprache hält. Genau dadurch entstand die zentrale Frage des Spiels: Vertraue ich darauf, dass die andere Person mit mir teilt oder entscheide ich mich für meinen eigenen Vorteil und stehle.

Das Spiel „Split or Steal“ lässt sich mit dem Gefangenendilemma vergleichen. Beide Spieler*innen müssen unabhängig voneinander aber gleichzeitig zwischen zwei Handlungsalternativen wählen. Dabei hängt die Auszahlung nicht nur von der eigenen Entscheidung ab, sondern auch von der Entscheidung des anderen Spielenden. „Split“ gilt als kooperative Entscheidung und ist mit „schweigen“ beim Gefangenendilemma vergleichbar, während „Steal“ für die Entscheidung steht, den eigenen Vorteil in den Vordergrund zu stellen, vergleichbar mit „gestehen“. Damit entsteht ein Dilemma bzw. Spannungsverhältnis zwischen Eigeninteresse und gegenseitiger Kooperation, was den Kern des Gefangenendilemmas bildet.

Abschließend lässt sich festhalten, dass keine eindeutige Strategie für das Gefangenendilemma existiert und der Spieler individuell eine für sich passende Strategie auswählen muss. Sowohl das Nash- Gleichgewicht als auch das Pareto Optimum können bei der Entscheidung als Orientierung dienen und sind auf verschiedene Bereiche übertragbar, z.B. auf die Wirtschaft oder Psychologie.

Literaturverzeichnis

Anold, E. (2009). Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I. Universität Bayreuth. https://eckhartarnold.de/papers/2009_Vorlesung_Entscheidungstheorie/node115.html (letzter Zugriff: 27.08.2026).

Peukert, H. (O.D.). Gefangenendilemma. Gabler Wirtschaftslexikon. https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/gefangenendilemma-35414 (letzter Zugriff: 27.08.2026).

Peham, C., Haslinger, K. (2009/10). Spieltheorie. Universität Wien. https://www.mat.univie.ac.at/~schmitt/lva/09w/Spieltheorie.pdf (letzter Zugriff: 27.08.2026).

Holt, C. & Roth, A. (2004). The Nash equilibrium: A perspective. The National Academy of Sciences.

Holler, M., Illing, G., Napel, S. (2019). Einführung in die Spieltheorie. (8. Aufl.) In Springer-Lehrbuch.

Holler, M. & Illing, G. (2006). Einführung in die Spieltheorie. (6. Aufl.) In Springer-Lehrbuch.

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Holler, M. & Illing, G. (2006). Einführung in die Spieltheorie. (6. Aufl.) In Springer-Lehrbuch.

Die mathematische Auffassung eines Spiels sich bezieht lediglich auf die Entscheidungen einzelner Personen. Dabei sei das Ziel eines jeden Spielenden, dieses Konzeptes, eine möglichst große Optimierung des möglichen erzielbaren Gewinns (Prof. Dr. Walz, G.).

Insgesamt setzt sich ein Spiel aus den Spielenden, die als handelnde Personen fungieren, den Strategiemengen, als auch den Zufallszügen, sowie den Informationsständen der einzelnen Parteien und den Auszahlungsmengen zusammen (Scholz, D., 2007, S. 6).

Die Ein-Personen-Spiele, welche eine Handlungssituation simulieren, beinhalten nur eine*n einzelne Akteur*in , welche*r aktiv Entscheidungen trifft und sieht keine strategisch entscheidenden Mitspieler vor. Aus Sicht der klassischen Spieltheorie ist dieser Begriff jedoch problematisch. Spieltheorie im engeren Sinn analysiert strategische Interdependenz: Das Ergebnis einer Entscheidung hängt davon ab, wie andere rationale Akteur*innen handeln. Fehlen weitere strategisch handelnde Akteur*innen, liegt streng genommen keine strategische Interaktion, sondern eine Entscheidung unter Sicherheit, Unsicherheit oder Risiko vor. 

Die handelnde Person wählt aus einer Menge möglicher Handlungen S diejenige Strategie s, welche gemäß seiner Präferenzen oder Zielfunktion u den größten erwarteten Nutzen erzeugt. Entscheidend ist, dass eine unsichere Umwelt nicht automatisch eine*n zweiten „Spieler*in“ darstellt. Naturereignisse, Zufall oder technische Prozesse besitzen keine strategische Intentionalität. Ein Mensch, der gegen ein zufälliges Wetterereignis plant, befindet sich daher in einer Entscheidungssituation; zwei Unternehmen, die ihre Preise jeweils unter Berücksichtigung der Reaktionen des Konkurrenten festlegen, befinden sich dagegen in einer strategischen Spielsituation (Dilger, A., 2022).

Beim Zwei-Personen-Spiel hingegen ist ein Spiel mit exakt zwei strategisch relevanten Akteur*innen. Beide Spieler*innen verfügen über eigene Strategiemengen und eigene Auszahlungsfunktionen.

Das zentrale Merkmal ist die strategische Interdependenz. Der Nutzen eines*r Spieler*in hängt nicht ausschließlich von seiner eigenen Strategie ab, sondern typischerweise von der Kombination beider Entscheidungen. Zwei-Personen-Spiele können sowohl kooperativ als auch nicht-kooperativ, simultan oder sequenziell sowie als Nullsummen- oder Nichtnullsummenspiele strukturiert sein (Arndt, A., Bartels, A. et al.).

Zwischen den einzelnen Spielen wird jeweils wieder unterschieden, wobei ein kooperatives Spiel im spieltheoretischen Sinne durch die institutionell oder formal relevante Möglichkeit gekennzeichnet ist, dass Akteur*innen verbindliche Vereinbarungen treffen und Koalitionen bilden können.

Die kooperative Spieltheorie abstrahiert häufig von der detaillierten Beschreibung einzelner Handlungen und untersucht stattdessen:

• welche Koalitionen entstehen können,
• welchen Gesamtwert eine Koalition erzeugen kann,
• wie dieser Wert zwischen den Mitgliedern verteilt wird,
• welche Verteilungen stabil oder normativ gerechtfertigt sind (Dilger, A., 2022).

Der entscheidende Unterschied zur nicht-kooperativen Spieltheorie besteht somit nicht darin, dass die Akteur*innen „freundlich“ handeln oder moralisch altruistisch sind. Kooperation kann auch zwischen strikt eigennützigen Akteur*innen stattfinden. Maßgeblich ist vielmehr die Frage, ob gemeinsame Vereinbarungen glaubwürdig und durchsetzbar sind.

Ein nicht-kooperatives Spiel ist ein Spiel, in dem die Entscheidungen einzelner Akteur*innen auf der Ebene individueller Strategien analysiert werden und verbindliche Vereinbarungen nicht einfach als gegeben vorausgesetzt werden.

Besonders wichtig ist eine verbreitete Fehlinterpretation: „Nicht-kooperativ“ bedeutet nicht „ohne Kooperation“. Spieler*innen können auch in einem nicht-kooperativen Spiel zusammenarbeiten. Der Unterschied besteht darin, dass kooperatives Verhalten selbst aus den individuellen Anreizen und strategischen Entscheidungen erklärt werden muss (Dilger, A., 2022).

Eine Kooperation ist somit nur dann dauerhaft plausibel, wenn sie selbstdurchsetzend ist. Kein*e Akteur*in darf unter den gegebenen strategischen Bedingungen einen hinreichenden Anreiz besitzen, einseitig von der vereinbarten Verhaltensweise abzuweichen 

Zudem gibt es sequenzielle Spiele, wobei Entscheidungen in einer zeitlich oder logisch geordneten Abfolge getroffen werden. Spätere Entscheidungen können dabei – abhängig von der Informationsstruktur – auf frühere Entscheidungen reagieren.

Die angemessene Darstellung erfolgt häufig in extensiver Form durch einen Spielbaum nach Arndt und Bartels. Dieser enthält:

• Entscheidungsknoten,
• mögliche Handlungen,
• Informationsmengen,
• Zufallsereignisse,
• Endknoten und
• die jeweiligen Auszahlungen.

Der zentrale Unterschied zu simultanen Spielen liegt in der Reihenfolge der Entscheidungsfindung. Ein früher handelnde*r Spieler*in kann die strategische Situation für spätere Akteur*innen verändern. Dadurch entstehen nach Arndt und Bartels Phänomene wie:

• Glaubwürdigkeit von Drohungen,
• strategische Selbstbindung,
• Abschreckung,
• Reputationsbildung,
• First-Mover- und Second-Mover-Vorteile.

Ein wichtiges Lösungskonzept ist das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht. Es verlangt, dass die Strategien nicht nur im gesamten Spiel, sondern in jedem relevanten Teilspiel rational bzw. gleichgewichtsfähig sind. Dadurch werden insbesondere nicht glaubwürdige Drohungen ausgeschlossen (Arndt, A., Bartels, A. et al.).

Ein simultanes Spiel hingegen liegt vor, wenn die beteiligten Akteur*innen ihre strategischen Entscheidungen treffen, ohne die aktuelle Entscheidung der anderen Spieler*innen zu kennen. „Simultan“ bedeutet dabei nicht zwingend, dass die Handlungen physikalisch zur exakt gleichen Sekunde erfolgen. Entscheidend ist vielmehr die Informationsstruktur: Kein Spieler kann seine aktuelle Strategie als Reaktion auf die aktuelle, noch unbekannte Wahl des anderen festlegen.

Jede*r Spieler*in wählt eine Strategie; erst die Kombination aller Strategien bestimmt das Ergebnis (Arndt, A., Bartels, A. et al.).

Das klassische analytische Problem simultaner Spiele besteht darin, dass jede*r Spieler*in seine Entscheidung unter Berücksichtigung rationaler Erwartungen über die Entscheidungen der anderen treffen muss. Das Nash-Gleichgewicht ist deshalb ein zentrales Lösungskonzept.

Bezüglich des Gewinn und des Verlustes einzelner Spieler*innen gibt es in den Spielen klare Unterschiede. Ein Nullsummenspiel ist ein Spiel, bei dem die Summe aller individuellen Auszahlungen für jedes mögliche Spielergebnis konstant gleich null ist:

Der Gewinn des*r einen Spieler*in entspricht damit exakt dem Verlust des*r anderen. Die Interessenstruktur ist vollständig antagonistisch. 

Ein wichtiger theoretischer Punkt besteht darin, dass Nullsummenspiele und nicht-kooperative Spiele unterschiedliche Klassifikationsdimensionen:

• nicht-kooperativ/kooperativ betrifft die institutionelle Struktur und die Modellierung von Vereinbarungen,
• Nullsummen/Nichtnullsummen betrifft die Struktur der Auszahlungen (2015, Professor Rieck‘s Spieltheorie-Seite).

Ein Spiel kann also gleichzeitig nicht-kooperativ und ein Nullsummenspiel sein. Ferner sind Nullsummenspiele strategisch eng mit Konstantsummenspielen verwandt. Wenn die Summe aller Auszahlungen stets einer festen Konstante c entspricht, kann durch eine geeignete Transformation der Auszahlungen häufig eine strategisch äquivalente Nullsummendarstellung erzeugt werden.

Welches Risiko gehst du ein?

Um bei den oben beschriebenen Zwei-Personen-Spielen einen möglichst hohen Gewinn zu erzielen, ist es notwendig eine möglichst gute Strategie zur wählen, wobei jede*r Spieler*in diese anders wählt. In der Regel sollte diese Entscheidung rational getroffen werden, da sie am sinnvollsten ist. Dieses rationale Entscheidungsverhalten wird in der normativen Entscheidungs- und Spieltheorie als ein Handeln verstanden, das systematisch an den Präferenzen eine*r Akteur*in, den verfügbaren Handlungsalternativen, den erwarteten Konsequenzen sowie der verfügbaren Information ausgerichtet ist. Rationalität bedeutet dabei zunächst nicht, dass eine Entscheidung tatsächlich zum bestmöglichen Ergebnis führt. Vielmehr ist eine Entscheidung dann rational, wenn sie angesichts der verfügbaren Informationen und der zugrunde gelegten Präferenzen nach einem konsistenten Entscheidungsverfahren getroffen wird (Joyce, J. M., 2009), (Harsanyi, J. C., 2009).

In der klassischen Entscheidungstheorie wird rationale Wahl häufig durch Nutzenmaximierung modelliert. Ein*e rationale*r Akteur*in ordnet möglichen Ergebnissen Nutzenwerte zu und wählt diejenige Handlung, deren Konsequenzen den eigenen Präferenzen am besten entsprechen. Unter Unsicherheit wird dieses Prinzip durch die Theorie des erwarteten Nutzens erweitert. Danach wird nicht lediglich der Nutzen eines möglichen Ergebnisses betrachtet, sondern die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ergebnisse mit deren jeweiligem Nutzen verbunden. Insgesamt ist die  Theorie des erwarteten Nutzens bis heute ein zentraler normativer Bezugspunkt der rationalen Entscheidungstheorie. Im Kontext der Spieltheorie erhält Rationalität jedoch eine zusätzliche Dimension. Die Konsequenzen einer Entscheidung hängen hier nicht ausschließlich von zufälligen Umweltzuständen ab, sondern wesentlich von den Entscheidungen anderer strategischer Akteur*innen. Rationales Entscheidungsverhalten erfordert daher neben der Bewertung eigener Handlungsalternativen auch Erwartungen darüber, wie andere Spieler*innen handeln werden. Es werde entsprechend zwischen Postulaten rationalen Verhaltens und Postulaten rationaler Erwartungen unterschieden. Ein*e Spieler*in müsse also nicht nur entscheiden, welche Strategie seine eigenen Interessen am besten erfüllt, sondern zugleich begründete Erwartungen über die Strategien der anderen Spieler*innen bilden. Entscheidungen innerhalb eines Spiels unterscheiden sich grundlegend von isolierten Entscheidungen, weil sie durch strategische Interdependenz gekennzeichnet sind. Strategische Interdependenz liegt vor, wenn die Konsequenzen der eigenen Entscheidung nicht allein durch die eigene Handlung bestimmt werden, sondern zusätzlich von den Handlungen anderer Akteur*innen abhängen. Die Rationalität einer Entscheidung kann folglich nicht allein anhand der Frage beurteilt werden, welche Handlung isoliert betrachtet den höchsten Nutzen erzeugt. Entscheidend ist vielmehr, welche Konsequenzen eine Strategie in Abhängigkeit von den erwarteten Strategien der anderen Spieler* innen besitzt (Princeton).

Ein*e rational handelnde*r Spieler*in bildet folglich Erwartungen über die Entscheidungen die Mitspieler*innen und wählt eine Strategie, die unter diesen Erwartungen optimal erscheint. In diesem Zusammenhang ist das Konzept der besten Antwort zentral. Eine Strategie ist eine beste Antwort, wenn sie – unter der Annahme bestimmter Strategien der anderen Spieler*innen – keine andere verfügbare Strategie hinsichtlich des eigenen Nutzens übertrifft.

Das Nash-Gleichgewicht präzisiert diese Logik auf der Ebene des gesamten Spiels. Ein Strategienprofil befindet sich im Nash-Gleichgewicht, wenn jede Strategie eine*r Spieler*in eine beste Antwort auf die Strategien aller anderen Spieler darstellt. Kein*e Spieler*in kann seinen Nutzen durch eine einseitige Abweichung verbessern. Das Gleichgewicht beschreibt somit eine Situation gegenseitig konsistenter Entscheidungen und Erwartungen. Rationalität wird hier nicht als individuelle Eigenschaft isolierter Entscheidungen verstanden, sondern als Bestandteil eines Systems strategisch aufeinander bezogener Handlungen. Besonders relevant ist dabei, dass ein*e rationale*r Spieler*in nicht zwingend eine Handlung wählen muss, die unabhängig von allen Umständen optimal ist. Rationalität ist vielmehr konditional: Eine Entscheidung ist rational relativ zu bestimmten Informationen, Präferenzen und Erwartungen. Verändern sich diese Voraussetzungen, kann sich auch die rational optimale Strategie verändern (Colman, A. M., 2003).

Entscheidungen entstehen somit nicht im theoretischen Vakuum. Selbst innerhalb eines streng formalen Modells hängt die Wahl einer Handlung von mehreren strukturellen Faktoren ab. Von besonderer Bedeutung sind die verfügbaren Handlungsalternativen, die Präferenzordnung eine*r Akteur*in, die erwarteten Konsequenzen, die vorhandene Information sowie die Struktur der Unsicherheit.

Zunächst muss ein*e Akteur*in über eine Menge möglicher Handlungsalternativen verfügen. Rationalität setzt voraus, dass zwischen Alternativen überhaupt eine Präferenzrelation gebildet werden kann. In der klassischen Entscheidungstheorie wird angenommen, dass Präferenzen bestimmten Konsistenzanforderungen genügen. Dazu gehören insbesondere Vollständigkeit und Transitivität. Vollständigkeit bedeutet, dass ein*e Akteur*in zwei relevante Alternativen grundsätzlich miteinander vergleichen kann. Solche Anforderungen sind zentral, weil ohne eine hinreichend konsistente Präferenzordnung keine stabile Nutzenmaximierung möglich wäre. Ein zweiter zentraler Faktor ist die Informationslage. Eine Entscheidung kann unter vollständiger Information, unter Risiko oder unter Unsicherheit erfolgen. Unter Sicherheit sind die Konsequenzen einer Handlung eindeutig bekannt. Unter Risiko sind mehrere Ergebnisse möglich, deren Wahrscheinlichkeiten jedoch quantifizierbar sind. Unter fundamentaler Unsicherheit können dagegen weder die relevanten Ereignisse noch ihre Wahrscheinlichkeiten vollständig und zuverlässig bestimmt werden. Diese Unterscheidung ist für die Bewertung rationalen Handelns wesentlich, da unterschiedliche Informationsstrukturen unterschiedliche Entscheidungskriterien erfordern können. Darüber hinaus beeinflusst die Zeitstruktur die Entscheidung. In sequenziellen Situationen kann eine Entscheidung Informationen erzeugen oder spätere Handlungsmöglichkeiten verändern. Eine gegenwärtige Strategie wird daher nicht nur anhand ihres unmittelbaren Ergebnisses bewertet, sondern auch danach, welche zukünftigen Reaktionen sie hervorruft und welche strategischen Optionen sie eröffnet oder verschließt. Im spieltheoretischen Kontext werden Entscheidungen insbesondere durch die Auszahlungsstruktur, die Strategiemengen, die Informationsstruktur und die Erwartungen über andere Spieler*innen bestimmt. Die Auszahlungsstruktur legt fest, wie unterschiedliche Kombinationen von Entscheidungen bewertet werden. Dabei ist entscheidend, dass eine Handlung für eine*n Spieler*in nicht unabhängig von den Handlungen anderer beurteilt werden kann. Eine aggressive Strategie kann beispielsweise unter bestimmten erwarteten Reaktionen optimal sein, unter anderen jedoch erhebliche Nachteile verursachen. Ein weiterer entscheidender Faktor ist die Strategiemenge. Eine Strategie bezeichnet in der Spieltheorie nicht lediglich eine einzelne Handlung, sondern kann – insbesondere in sequenziellen Spielen – einen vollständigen Handlungsplan für alle möglichen Entscheidungssituationen darstellen. Rationales Verhalten erfordert daher, nicht nur eine unmittelbare Entscheidung zu bewerten, sondern mögliche zukünftige Situationen in die strategische Planung einzubeziehen. Von besonderer Bedeutung ist außerdem die Informationsstruktur. Ein*e Spieler*in kann Entscheidungen unter vollständiger oder unvollständiger Information treffen. Bei vollständiger Information sind relevante Strukturelemente des Spiels bekannt; bei unvollständiger Information bestehen Unsicherheiten über Merkmale anderer Spieler*innen oder der strategischen Situation. Dazu können beispielsweise die Präferenzen, Fähigkeiten oder verfügbaren Strategien anderer Akteur*innen gehören. Die Informationsstruktur beeinflusst somit unmittelbar, welche Erwartungen rational gebildet werden können. Hinzu kommt das Problem der gegenseitigen Erwartungen. Jede*r Spieler*in versucht, die Entscheidungen anderer vorauszusehen, während diese wiederum ebenfalls Erwartungen über sein Verhalten bilden. Rationalität in Spielen besitzt daher eine rekursive Struktur: Ein*e Spieler*in berücksichtigt nicht nur, was andere wahrscheinlich tun, sondern gegebenenfalls auch, was diese Spieler*in über seine eigenen Entscheidungen erwarten. Genau diese Verschachtelung strategischer Erwartungen unterscheidet spieltheoretische Entscheidungen von gewöhnlichen individuellen Entscheidungsproblemen (Behnke, J., 2013).

Psychische Faktoren können Entscheidungsverhalten beeinflussen, sollten jedoch – insbesondere wenn die Analyse primär spieltheoretisch ausgerichtet ist – nicht mit den normativen Grundlagen rationaler Entscheidung verwechselt werden. Die klassische Rational-Choice-Theorie versucht gerade, Entscheidungen zunächst unabhängig von individuellen psychologischen Mechanismen zu modellieren. Im Zentrum stehen beobachtbare Präferenzen, Handlungsalternativen, Informationen und Konsequenzen. Dennoch ist für die empirische Analyse relevant, dass tatsächliche Entscheidungen von den Annahmen idealisierter Rationalität abweichen können. Solche Abweichungen können unter anderem mit der Verarbeitung von Informationen, der subjektiven Wahrnehmung von Wahrscheinlichkeiten oder der Bewertung unsicherer Konsequenzen zusammenhängen. Die moderne Entscheidungstheorie hat deshalb zahlreiche Modelle entwickelt, welche die Differenz zwischen normativ rationalem Verhalten und deskriptiv beobachtbarem Verhalten untersuchen. Besonders bedeutsam ist hierbei die Unterscheidung zwischen einem Modell, das beschreibt, wie Akteur*innen rational handeln sollten, und einem Modell, das erklärt, wie Menschen tatsächlich entscheiden. Die Theorie des erwarteten Nutzens ist primär normativ konzipiert: Sie liefert ein System von Rationalitätsbedingungen, unter denen Entscheidungen als konsistent dargestellt werden können. Experimentelle Befunde, etwa die klassischen Allais- und Ellsberg-Paradoxien, zeigen jedoch, dass reale Entscheidungsträger diese Axiome nicht immer erfüllen. Daraus folgt nicht zwangsläufig, dass jede Abweichung irrational ist; vielmehr stellt sich die theoretische Frage, ob bestimmte Entscheidungssituationen zusätzliche Rationalitätskriterien erfordern (Bühlmann, H., Loeffel, H., Nivergelt, E., 1975). 

Für eine spieltheoretisch orientierte Untersuchung genügt daher zunächst die Feststellung, dass psychische Faktoren die tatsächliche Informationsverarbeitung und Präferenzbildung beeinflussen können. Ihre detaillierte Untersuchung sollte jedoch einer eigenständigen verhaltenswissenschaftlichen oder psychologischen Analyse vorbehalten bleiben.

Die Risikoabschätzung bezeichnet den Prozess, mögliche negative oder positive Konsequenzen einer Handlung unter unsicheren Bedingungen systematisch zu identifizieren und zu bewerten. Wissenschaftlich ist dabei eine präzise Unterscheidung zwischen Risiko und Unsicherheit erforderlich. Von Risiko spricht man typischerweise dann, wenn die möglichen Ereignisse bekannt und ihre Wahrscheinlichkeiten zumindest prinzipiell quantifizierbar sind. Unsicherheit liegt demgegenüber vor, wenn entweder die möglichen Ereignisse selbst oder ihre Eintrittswahrscheinlichkeiten nicht zuverlässig bestimmt werden können. Diese Unterscheidung geht auf eine grundlegende Tradition der ökonomischen und entscheidungstheoretischen Analyse zurück und bleibt für die Modellierung rationaler Entscheidungen von zentraler Bedeutung. Unter quantifizierbarem Risiko kann ein*e rationale*r Akteur*in mögliche Handlungen anhand ihrer erwarteten Konsequenzen vergleichen. Dabei reicht es jedoch nicht aus, lediglich den erwarteten monetären Wert zu berechnen. Entscheidend ist der Nutzen, den ein Ergebnis für die jeweilige*n Akteur*in besitzt. Zwei Alternativen können denselben Erwartungswert aufweisen, aber aufgrund unterschiedlicher Risikostrukturen unterschiedlich bewertet werden. Die Theorie des erwarteten Nutzens erklärt dies dadurch, dass der Nutzen einer Auszahlung nicht notwendigerweise proportional zu ihrer objektiven Größe ist. Die Risikoabschätzung lässt sich deshalb als Verbindung dreier analytischer Elemente verstehen: Eintrittswahrscheinlichkeit, Konsequenzgröße und Präferenzbewertung. Eine Handlung mit geringer Wahrscheinlichkeit eines sehr hohen Verlustes kann anders bewertet werden als eine Handlung mit hoher Wahrscheinlichkeit eines moderaten Verlustes, selbst wenn bestimmte aggregierte Kennzahlen ähnlich erscheinen (Milkau, U., 2024).

Im spieltheoretischen Kontext wird Risiko zusätzlich durch das Verhalten anderer Spieler erzeugt. Ein*e Akteur*in muss nicht nur zufällige Ereignisse berücksichtigen, sondern auch strategische Unsicherheit. Die zentrale Frage lautet daher: Welche Konsequenzen ergeben sich aus meiner Strategie, wenn andere Spieler*innen unterschiedlich handeln? Risikoabschätzung wird damit zu einem Problem der Bewertung alternativer Strategien unter verschiedenen möglichen Reaktionen der Mitspieler*innen.

Eine besonders wichtige Konsequenz ist, dass rationale Risikoabschätzung nicht mit maximaler Risikovermeidung gleichzusetzen ist. Ein*e rationale*r Akteur*in versucht nicht zwangsläufig, jede Gefahr zu minimieren, sondern bewertet Risiken im Verhältnis zu den erwarteten Nutzenwirkungen und zu seinen Präferenzen. Risikobereitschaft und Rationalität sind daher keine Gegensätze. Entscheidend ist vielmehr, ob die Übernahme eines Risikos mit einer konsistenten Bewertung möglicher Konsequenzen und der verfügbaren Information vereinbar ist. Die moderne Debatte über erwarteten Nutzen und alternative Risikomodelle bestätigt, dass Risikosensitivität innerhalb rationaler Entscheidungstheorien auf unterschiedliche Weise formalisiert werden kann (Milkau, U., 2024).

Zusammenfassend lässt sich Risikoabschätzung als ein zentraler Bestandteil rationalen Entscheidungsverhaltens verstehen: Ein*e Akteur*in identifiziert mögliche Zustände der Welt, ordnet ihnen Wahrscheinlichkeiten oder subjektive Überzeugungen zu, bewertet deren Konsequenzen anhand seiner Präferenzen und wählt anschließend diejenige Handlung, die nach dem verwendeten Rationalitätskriterium am vorteilhaftesten erscheint. Unter strategischer Interdependenz muss diese Bewertung zusätzlich die möglichen Entscheidungen anderer Akteur*innen einbeziehen.

Literaturverzeichnis

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(https://www.utb.de/doi/book/10.36198/9783838537610, Behnke, J., 2013, Entscheidungs- und Spieltheorie, S. 217-243)

(https://books.google.de/books?hl=de&lr=&id=3lyoBgAAQBAJ&oi=fnd&pg=PA3&dq=psychische+Faktoren+entscheidung+Spieltheorie+wissenschaftliche+arbeit&ots=1Gh2PcHRAo&sig=ZqbISbKy8CAtFnR7Tvhtv1jkDUw#v=onepage&q&f=false, Bühlmann, H., Loeffel, H., Nievergelt, E., 1975, Entscheidungs- und Spieltheorie: Ein Lehrbuch für Wirtschaftswissenschaftler)

(https://www.herder.de/staatslexikon/artikel/spieltheorie/, Dilger, A., 2022, Spieltheorie Staatslexikon)

(https://www.cambridge.org/core/books/abs/rational-behaviour-and-bargaining-equilibrium-in-games-and-social-situations/rational-behavior-under-certainty-risk-and-uncertainty/16DF604A678747B8033BD23C12F89A30?utm, Harsanyi, J. C., 2009, Rational Behaviour ans Bargaining Equilibrium in Games and Social Situations, S. 22-47)

(https://www.cambridge.org/core/books/abs/foundations-of-causal-decision-theory/savages-theory/9EB3306FC56696F205C43EFF41FA48B0?utm, Joyce, J. M., 2009, The Foundations of Causal Decision Theory, S. 78-113) 

(https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-44202-6, Milkau, U., 2024, Risiko jenseits wiederholter Spiele)

(https://assets.press.princeton.edu/chapters/s2-10001.pdf?utm, Princeton, Introducing Uncertainty and Time)

(https://www.mehr-davon.de/content/spiel.pdf, Scholz, D., 2007, Spieltheorie)

(https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/spiel/9891, Prof. Dr. Walz, G. Spektrum der Wissenschaft, Lexikon der Mathematik, Spiel)

Nullsummenspiel

Um die Anwendung von Taktik und Strategie genauer zu betrachten, untersucht man zunächst die besondere Spielsituation eines Nullsummenspiels. Wie schon zuvor erläutert, ist ein Nullsummenspiel eine besondere Art des Spiels, in dem die Interessen der Spielenden vollkommen gegensätzlich sind. Der Gewinn einer spielenden Person entspricht dabei genau dem Verlust der anderen spielenden Person. Die Summe der Auszahlungen aller Spielenden beträgt somit immer null. In einem Zwei-Personen-Nullsummenspiel gilt für die Auszahlungen der beiden Spielenden daher:

Dies bedeutet, dass eine Verbesserung der Auszahlung einer spielenden Person automatisch zu einer gleich großen Verschlechterung der Auszahlung der anderen spielenden Person führt. Die Spielenden stehen somit in direkter Konkurrenz zueinander. Deswegen wird häufig auch der Begriff strikt kompetitive Spiele anstatt von Nullsummenspielen verwendet. Diese Art von Spielen können mithilfe Auszahlungsmatrizen dargestellt werden. Person 1 belegt hierbei die Zeilen und Person 2 die Spalten. Die Werte innerhalb der Matrix zeigen, welche Auszahlungen die Spielenden erhalten. Somit erhält die eine Person die Auszahlung des Verlustes der anderen Person (Holler und Illing, 2003).

Maximin und Minimax-Strategie

Ein Lösungskonzept für ein 2-Personen-Nullsummenspiel ist die Maximin-Strategie. Hierbei geht es darum, die minimale Auszahlung zu maximieren, während man davon ausgeht, dass die gegnerische Person die für einen selbst ungünstigste Strategie wählt. Dafür schaut sich eine spielende Person für alle ihre Strategien das schlechteste Ergebnis an und wählt anschließend die Strategie, bei der diese Auszahlung am höchsten ist.

In dem Beispiel würde Person 1 somit die Strategie „mitte“ wählen, weil 2 die höchste der minimalen Auszahlungen ist.

Eine andere Strategie für Nullsummenspiele ist die Minimax-Strategie. Bei dieser Strategie sorgen die Spielenden dafür, dass der Maximale Verlust minimiert, wird. Dabei betrachtet der/die Spieler*in den größten Verlust, den er/sie hat und wählt dann die Strategie, wo der Verlust am niedrigsten ist. Eine Besonderheit bei diesen beiden Strategien ist, dass sie auf die niedrigsten Auszahlungen ausgerichtet ist und dadurch Chancen auf höhere Auszahlungen nicht berücksichtigt werden.

In dem folgenden Beispiel ist für Spieler*in 2 der Maximale Verlust -4, wenn er links wählt, während es nur -2 ist, wenn er rechts wählt. Deswegen würde der/die Spieler*in mit der Minimax-Strategie „rechts“ wählen. 

Wiederholte Spiele

Ein wiederholtes Spiel bedeutet, dass dasselbe Spiel mehrmals in Folge gespielt wird. Dabei wird vorausgesetzt, dass jede*r Spieler*in rational denkt und stets im besten eigenen Interesse handelt. Zudem hat jede*r Spieler*in Zugriff auf perfekte Information, das heißt man hat vollständige Information über alle möglichen Züge und auch über die Historie der vorherigen Spielzüge mit den dazugehörigen Ergebnissen.

Diese mehrfach wiederholten Spiele werden auch als dynamische Spiele dargestellt:

$G = \{S_1, \ldots, S_n; u_1, \ldots, u_n\}$

Dabei wird das wiederholte Spiel G in die einzelnen Runden mit den jeweiligen Strategiemengen S unterteilt und die jeweiligen Auszahlungen mit u definiert. Mit jeder neuen Runde steigt die Anzahl an möglichen Kombinationen von Strategien an, was zur Bildung von Reinstrategien, Mischstrategien und Verhaltensstrategien führt (Fischedick, 2012).

Strategien

Im Folgenden wird zwischen Reinstrategie, Mischstrategie und Verhaltensstrategie in Nullsummenspielen anhand des Beispiels „Schere-Stein-Papier“ unterschieden.

Bei einer Reinstrategie wählt der*die Spieler*in in der gleichen Situation immer die selbe Strategie. Im Beispiel von Schere-Stein-Papier verwendet der*die Spieler*in beispielsweise immer Stein. Eine reine Strategie wird verwendet, wenn ein Nash-Gleichgewicht vorliegt und somit eine dominante Strategie vorhanden ist. Das heißt kein*e Spieler*in kann durch einseitiges Strategiewechseln einen Vorteil über die Gegnerpartei erlangen.

Im Gegensatz zu der Reinstrategie steht die Mischstrategie: Diese verwendet mehrere Reinstrategien zusammen, indem jede Reinstrategie mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit verwendet wird. So verwendet der*die Spieler*in zum Beispiel zu 40% Stein, zu 30% Schere und zu 30% Papier. Die Mischstrategie wird verwendet, wenn es keine dominante Strategie gibt und um für den*die Gegenspieler*in unberechenbar zu bleiben.

Bei der Verhaltensstrategie passt man die eigene Entscheidung dem*der Gegenspieler*in an. So kann die Verhaltensstrategie nach jedem Spielzug an den*die Gegner*in angepasst werden, indem man die Informationen aus den letzten Spielzügen anwendet. Im vorherigen Beispiel verwendet der*die Spieler*in öfters Stein, daher kann man sich mit der Verhaltensstrategie so anpassen, dass man mehr Papier verwendet, um einen Vorteil über den*die Gegner*in bekommen kann (Arnold E.,2008).

Wiederholtes Spielen – Gefangenendilemma

Durch die Betrachtung des klassischen Gefangenendilemmas haben wir bisher einmalige, sogenannte One-Shot-Games, kennengelernt. Wird ein Experiment wie das Gefangenendilemma nun wiederholt, so ändern sich die strategischen Möglichkeiten grundlegend. Doch wie beeinflusst das die Strategien der einzelnen Spieler*innen? Insbesondere ist nachweisbar, dass in wiederholten Dilemmata oft kooperative Strategien ein Nash-Gleichgewicht bilden können (Ross,2024).

Durch die wiederholte Durchführung eines Spiels verändert sich die strategische Entscheidungssituation, da die Spieler*innen nicht mehr ausschließlich die unmittelbare Auszahlung einer Handlung berücksichtigen, sondern auch die Auswirkungen ihres Verhaltens auf zukünftige Spielrunden einbeziehen. Insbesondere Vertrauen gewinnt dabei an Bedeutung. Wenn ein*e Spieler*in wiederholt kooperatives Verhalten zeigt, entsteht beim Gegenüber die Erwartung, dass dieses Verhalten auch in zukünftigen Runden fortgesetzt wird. Dadurch kann sich schrittweise eine stabile Vertrauensbeziehung entwickeln. Gleichzeitig ermöglicht die Wiederholung, das Verhalten des*der anderen Spieler*in zu beobachten und dessen*deren Zuverlässigkeit einzuschätzen. Eine Abweichung von der Kooperation kann dagegen das aufgebaute Vertrauen beschädigen und zukünftige Kooperation erschweren. Strategien werden somit nicht mehr ausschließlich anhand der aktuellen Situation gewählt, sondern an die bisherige Interaktionsgeschichte angepasst. Die wiederholte Interaktion schafft dadurch einen Mechanismus, bei dem Vertrauen durch konsistentes kooperatives Verhalten aufgebaut, durch opportunistisches Verhalten geschwächt und durch gegenseitige Reziprozität stabilisiert werden kann (Arnold, 2009).

Split or Steal

Wir haben in unserem Kurs die Auswirkungen des sequentiellen Spiels untersucht, indem wir „Split of Steal“ gespielt haben. Jede Person hat hierbei gegen acht Personen je drei Runden gespielt. Im Anschluss an das Spiel haben wir den Anteil des kooperativen Verhaltens in den einzelnen Runden untersucht, was in der unten stehenden Abbildung dargestellt ist. Auffällig ist, dass in den ersten beiden Runden der Anteil des kooperativen Verhaltens deutlich höher war als in der letzten Runde. Dies lässt sich einfach erklären. Zeigt man bereits in der ersten oder zweiten Runde nicht-kooperatives Verhalten, muss man ebenfalls mit nicht-kooperativem Verhalten als Reaktion rechnen. Dies hätte zur Folge, dass man in den verbleibenden Runden keinerlei Gewinn mehr macht. In der letzten Runde hingegen ist das Risiko geringer, nicht-kooperativ zu spielen, da keine weitere Runde gespielt wird. Da aber auch noch gegen weitere Personen gespielt wird, kann sich nicht-kooperatives Verhalten herumsprechen. Erstaunlicherweise sind die Reaktionen darauf teilweise sehr verschieden. Wie man es vermutlich erwarten würde, zeigten viele gegen Gegner*innen, die für nicht-kooperatives Verhalten bekannt waren, ebenfalls nicht-kooperatives Verhalten. Auf diese Weise wurde zwar in Kauf genommen, dass man selber in dem Spiel voraussichtlich keinen Gewinn macht, es wurde aber auch verhindert, dass der*die Gegner*in einen hohen Gewinn macht. Eine grundlegend andere Strategie im Spiel gegen voraussichtlich nicht-kooperative Spieler*innen war das konsequente kooperative Spiel. Auf diese Weise konnte man zumindest selber noch einen geringen Gewinn machen, nahm aber in Kauf, dass der*die Gegner*in einen hohen Gewinn macht. 

Robert Axelrod lud 1980 diverse Expert*innen der Spieltheorie aus den Bereichen Politikwissenschaft, Ökonomie, Psychologie, Mathematik und Soziologie ein, um an einem Wettbewerb teilzunehmen. Jeder von ihnen sollte ein Programm schreiben, das gegen alle anderen Programme ungefähr 200 Runden des Spiels „Split or Steal“, eine Abwandlung des Gefangenendilemmas, spielt. Dass ungefähr 200 Runden gespielt werden ist relevant, da, wenn bekannt ist, welche Runde die letzte ist, diese zum einfachen Gefangenendilemma wird und somit unabhängig von der bisherigen Strategie das Betrügen die dominante Strategie darstellt. Schließlich muss kein Vertrauen für die kommende Runde aufgebaut werden. Viele der Teilnehmer*innen entwarfen sehr komplexe Strategien oder versuchten, über möglichst hinterhältige Spielweisen durch Defektion Punkte zu sammeln. Jedoch gab es auch einfache Strategien, wie beispielsweise die des Ökonomen James W. Friedman, dessen Strategie so lange kooperiert, bis sie einmal von ihrem Gegenüber betrogen wird. Danach betrügt sie für den Rest des Spiels, ist also extrem nachtragend. Darüber hinaus gibt es auch unter anderem dauerhaft kooperative Strategien oder durchwegs defektierende Strategien (Diekmann,2009).

Nach der Betrachtung der Resultate fiel jedoch auf, dass sich eine gute Strategie aus vier Hauptattributen zusammensetzt. Fast alle der siegreichen Strategien waren „nette“ Strategien. Sie kooperierten zunächst und betrogen niemals zuerst. Des Weiteren waren die Strategien nicht nachtragend, sondern wechselten, nachdem sich die gegnerische Strategie kooperativ zeigte, auch wieder zum Kooperieren. Sie waren jedoch auch nicht naiv, sondern antworteten auf einen Betrug der gegnerischen Strategie ebenfalls selbst in der nächsten Runde mit Betrug. Darüber hinaus waren die meisten Strategien durch Programme mit weniger als 20 Zeilen modelliert, was auf eine niedrigere Komplexität und damit in der Regel auf eine hohe Berechenbarkeit schließen lässt (Diekmann, 2009).

Die letztendlich siegreiche Strategie heißt „Tit for Tat“. Sie beginnt mit Kooperation und kopiert danach immer die gegnerische Strategie aus der vorherigen Runde. Kooperiert die gegnerische Strategie in der vorherigen Runde, kooperiert Tit for Tat ebenfalls in der darauffolgenden Runde. Wird Tit for Tat betrogen, schlägt die Strategie in der nächsten Runde zurück (Diekmann, 2009).

Ein anschauliches, reales Anwendungsbeispiel für Tit for Tat findet sich im Wettbewerb zwischen Unternehmen, die regelmäßig miteinander konkurrieren. Besonders deutlich wird dies etwa bei zwei Supermärkten, die in derselben Region dauerhaft miteinander im Wettbewerb stehen. Beide Unternehmen haben grundsätzlich die Möglichkeit, ihre Preise niedrig zu setzen, um kurzfristig Marktanteile zu gewinnen, oder ein höheres Preisniveau beizubehalten, von dem beide profitieren. 

Würde das Preissetzungsverhalten nur einmalig betrachtet, bestünde für jedes Unternehmen ein Anreiz, den Preis des Konkurrenten zu unterbieten. Da die Unternehmen jedoch über einen längeren Zeitraum wiederholt aufeinandertreffen, können heutige Entscheidungen die zukünftigen Reaktionen des Konkurrenten beeinflussen. Diese wiederholte Interaktion ist die Grundlage für die Anwendung von Tit for Tat. In wiederholten Spielen kann eine Spielerin vergangenes Verhalten des/der Gegenspieler*in bei seiner/ihrer aktuellen Entscheidung berücksichtigen. 

Übertragen auf den Wettbewerb der beiden Supermärkte würde Tit for Tat bedeuten, dass ein Unternehmen zunächst kooperativ handelt und beispielsweise ein stabiles Preisniveau beibehält. Solange die Konkurrenz ebenfalls auf aggressive Preissenkungen verzichtet, besteht für beide Unternehmen ein Anreiz, dieses Verhalten fortzusetzen. Senkt jedoch einer der beiden Supermärkte seine Preise deutlich, um kurzfristig zusätzliche Kund*innen zu gewinnen, würde der andere Supermarkt darauf in der nächsten Periode mit einer entsprechenden Preissenkung reagieren. Der ursprüngliche Preisunterbietende erzielt dadurch zwar zunächst einen Vorteil, muss anschließend jedoch mit einer Gegenreaktion rechnen. Der kurzfristige Gewinn aus der Abweichung wird somit durch einen möglichen zukünftigen Verlust relativiert. Eine solche wechselseitige Reaktion kann dazu beitragen, dass beide Unternehmen langfristig ein kooperatives Verhalten aufrechterhalten, obwohl jeder einzelne Akteurin grundsätzlich einen Anreiz zur kurzfristigen Abweichung besitzt. 

Informationstheorie 

Information bezeichnet die Menge an Wissen, über die alle Spielenden hinsichtlich der eigenen und der anderen Rollen im Spiel sowie über das Spiel selbst verfügen. Gemeinsames Wissen (Common Knowledge) ist dabei ein Aspekt des Spiels, der allen bekannt ist und dessen Bekanntheit auch allen anderen bewusst ist. Dabei stellt die Informationsmenge P_i einer spielenden Person die Menge an Informationen über das Spiel, den bisherigen Spielverlauf, die jetzige Position der Person sowie ihre Möglichkeiten und Chancen dar (Myerson, 1991). 

Es existieren zwei hauptsächliche Informationszustände: Perfekte und imperfekte Information. Bei perfekter Information besitzen alle Spielenden vollständiges Wissen über alle Spielzüge, Auszahlungen und Nutzen aller Beteiligten eines Spiels. Dadurch wissen sie mit vollkommener Sicherheit, an welchem Punkt im Spiel sie stehen und welche Zugmöglichkeiten sie in Abhängigkeit von den Gegenspielenden haben. Perfekte Information kann nur bei perfektem Erinnerungsvermögen aller Spielenden (perfect recall) eintreten, sodass ein komplettes Bild aller vorangegangenen Handlungen vorhanden ist. 

Imperfekte Information hingegen bedeutet eine oder mehrere spielende Personen besitzen keine vollständige Information über Spielzüge, Auszahlungen und Taktiken der Gegenspielenden und können sich daher nicht auf diese abstimmen. Die jeweilige Person weiß in einem sequentiellen Spiel daher nicht, an welchem Knotenpunkt des Spiels sie sich befindet. Dadurch können manche Verhaltensstrategien nicht angewendet werden, da die nötige Anpassung an die Gegenspielenden nicht gegeben ist (Holler et al., 2006). 

Bayes’sche Spiele 

Ein Bayes’sches Spiel ist ein Spiel mit unvollständiger Information, das heißt, die spielende Person muss auf die Handlung der Gegenseite spekulieren, zum Beispiel anhand einer Zuordnung zu einem Spielertyp. Dadurch können typabhängige Handlungen und Möglichkeiten geschätzt werden. Diese Typeigenschaften einer spielenden Person werden als von der Natur ausgesucht erachtet, und zwischen ihnen wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgestellt, auf welcher dann die gemischten Strategien basieren (Holler et al., 2006). 

Dennoch stellen sie meist „Hidden Action“-Probleme dar, da alle oder manche Handlungen der Gegenseite den Spielenden nicht bekannt sind. Dabei stellt das Verstecken der Handlungen einen strategischen Vorteil dar. Der beidseitige Versuch, durch das Verbergen von Informationen einen strategischen Vorteil zu erlangen, kann jedoch auch zu beidseitig niedrigeren Informationsständen führen, als wenn transparent gespielt würde (Tadelis, 2013). 

Durch die Beobachtung von ersichtlichen Handlungen der Gegenseite können Rückschlüsse auf andere, verborgene Aktionen gezogen werden, sofern beide Seiten stets rational handeln. Dies lässt jedoch einen Raum für Interpretation offen, der auch zu deutlich erschwerten Spielen und suboptimalen Ausgängen führen kann. 

In Spielen mit imperfekter Information, besonders wenn verschiedene Handlungen nicht hinreichend abschätzbare Risiken bergen, ist eine Kalkulation und Abwägung der verschiedenen Möglichkeiten eines Spielzugs vonnöten. Dazu muss zuerst die Unsicherheit des Eintretens eines Ereignisses berechnet werden, wozu die Informationstheorie nach Claude Shannon hinzugezogen wird. 

Shannons Informationstheorie 

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter Unsicherheit abzuschätzen, muss zuerst der Grad der Unsicherheit eines Systems berechnet werden. Das lässt sich auch als Entropie bezeichnen. 

Je höher die Unsicherheit des Ausgangs eines Systems ist, d. h. je mehr mögliche Informationen beziehungsweise Ausgänge es gibt, desto höher die Entropie. Dabei existiert Entropie nur vor der Auflösung des Systems, solange noch mögliche Entscheidungen ausstehen. Information wird hier in Bits gemessen, d. h. je mehr Bits, desto mehr Information ist in einem System enthalten (Shannon, 1984). Die Entropie kann mit der folgenden Formel berechnet werden: 

Beispiel: Poker 

Beim Poker erhält jede spielende Person zwei Karten, die den anderen unbekannt bleiben. Nach und nach werden zuerst drei, dann noch zwei Karten in der Tischmitte für alle Spielenden aufgedeckt. Ziel ist es letztlich, mit den eigenen Karten und den fünf Gemeinschaftskarten in der Mitte eine gewinnbringende Fünfkartenkombination zu legen, z. B. eine Straße, ein oder zwei Paare oder einen Flush. Durch das Einsetzen von Chips wird darauf gewettet, dass die eigenen Karten besser sind als die der anderen Mitspielenden und deshalb die Einsätze gewonnen werden. Bei schlechteren Karten kann auch geblufft und darauf gehofft werden, dass die anderen unter der Annahme der eigenen Chancenlosigkeit aussteigen, sodass letztendlich doch gewonnen wird. 

In diesem Spiel ist die Informationstheorie besonders bei der Einschätzung der Karten und der Taktik der Gegenseite wichtig, da mit imperfekter Information gespielt wird. Die Entropie ist sehr hoch, da es eine hohe Anzahl an möglichen Kartenkombinationen pro Spielenden gibt, die jeweils vorhergesehen werden müssen. Weiterhin bleibt ungewiss, welche Karten potenziell in den weiteren Runden noch in der Mitte aufgedeckt werden könnten, die eventuell zum eigenen Gewinn oder Verlust führen könnten. Dadurch entwickeln sich verschiedene Strategien, z. B. von Anfang an viel Geld zu setzen, um selbstsicher zu wirken und die anderen einzuschüchtern, zurückhaltend zu spielen, um den möglichen Verlust zu minimieren, und frühzeitig auszusteigen, da die Chancen auf einen Gewinn als unwahrscheinlich eingeschätzt werden. 

Dennoch lassen sich den Spielenden besonders bei mehrfachem Spielen bestimmte Spieltypen zuordnen, z. B. der eines abwägenden Taktikers oder der eines leichtsinnigen Bluffers, der stets viel Geld setzt (Holler et al., 2006). 

Damit lässt sich auch die Wahrscheinlichkeit eines Bluffs etwas besser einschätzen, da das Verhalten der jeweiligen Person je nach Karten vorhersehbarer wird. Es bietet sich deshalb die GTO, die Game Theory Optimal, als Strategie an, um unberechenbar zu bleiben. Sie besagt, dass mit einer Strategie gespielt werden muss, die einen Rückschluss der Mitspieler auf die tatsächliche Spielsituation verhindern, da die Reaktionen des Spielers unberechenbar bleiben.  

Durch die Berechnung der Entropie und der möglichen Kartenkombinationen mit den aufgedeckten Karten kann das Risiko der verschiedenen Spielzüge annähernd abgeschätzt werden. Dabei müssen der benötigte Einsatz, der mögliche Gewinn und die Wahrscheinlichkeitsverteilung zwischen diesen Möglichkeiten beachtet werden. Mit all diesen Schritten kann ein sehr glücksabhängiges Spiel mit einer mathematischen Herangehensweise besser erschlossen werden. 

Fazit

Unter Betrachtung der obigen Strategien wird klar, dass es nicht die eine beste Strategie gibt, sondern dass die Strategie immer an die jeweilige Situation angepasst werden muss. Bei Nullsummenspielen besteht beispielsweise die Wahl zwischen der Minimax- und der Maximaxstrategie sowie die Unterscheidung zwischen Rein-, Misch- und Verhaltensstrategien. Bei wiederholten Spielen hingegen sind Faktoren wie Vertrauen, Kooperation und die Analyse vergangener Spielzüge entscheidend für die Wahl der Taktik. Bei Spielen mit imperfekten Informationen müssen zusätzlich Wahrscheinlichkeiten für unsichere Ereignisse berücksichtigt werden. Die optimale Strategie hängt also von Erfahrungen, Wissen, Wahrscheinlichkeiten und dem jeweiligen Spiel selbst ab und muss zwingend an die Situation angepasst gewählt werden.

Quellenverzeichnis

Arnold, E. (2009). Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I. Bayreuth: Universität Bayreuth. 

Diekmann, A. (2009). Spieltheorie: Einführung, Beispiele, Experimente (3. Aufl.). Reinbek bei Hamburg: Rowohlt Taschenbuch Verlag 

Fischedick E. (2012), Seminarvortrag Extensive Spiele mit imperfekter Information, https://www.uni-muenster.de/Stochastik/lehre/SS12/SeminarAnwendungenWT/Vortraege/Fischedick.pdf

Holler, M. J., & Illing, G. (2003). Einführung in die Spieltheorie (5. Auflage). Springer  

Myerson, R. B. (1991). Game theory: Analysis of conflict. Harvard University Press.

Ross, D. (2024). Game Theory. In E. N. Zalta & U. Nodelman (Hrsg.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2024 Edition). Metaphysics Research Lab, Stanford University 

Tadelis, S. (2013). Game theory: An introduction. Princeton University Press.

Winter S. (2014), Grundzüge der Spieltheorie, Springer  

Verhandlung

Dafür betrachten und definieren wir zu Beginn das Verhandlungsspiel und die Nash-Lösung.

In einem Verhandlungsspiel werden die Spieler*innen stets als individuell und isoliert handelnd betrachtet, solange keine bindenden Verträge geschlossen werden können. Es kann ebenfalls zu Verhandlungen in nicht-kooperativen Spielen kommen. In solchen Fällen sind bindende Verträge allerdings nicht möglich. Verhandlungen sind unter perfekter sowie imperfekter Information möglich, wobei oft fälschlicherweise von perfekter Information ausgegangen wird. Das Verhandlungsergebnis wird häufig umgangssprachlich als Lösung bezeichnet. Die Spieler*innen oder Parteien müssen einen Anreiz haben zu verhandeln, sodass das Gesamtergebnis durch eine Einigung größer ist als die Summe ihrer Einzeloptionen (Helmold, M., 2023, „Verhandlungen gewinnen“).

Die Verhandlungsmenge beschreibt die Menge aller mathematisch und praktisch möglichen Auszahlungskombinationen, die die Parteien durch eine Vereinbarung erreichen können (Helmold, M., 2023, „Verhandlungen gewinnen“).

Der Auszahlungsraum wird folgendermaßen definiert:

In einer Verhandlung wählen die Spieler*innen aus dem Auszahlungsraum x des Spiels B. c ist dabei die Option, die umgesetzt wird, wenn keine Einigung getroffen werden kann.

c ist also folgendermaßen definiert:

Das Verhandlungsproblem beschreibt die Situation, in der es für alle Spieler*innen genau ein Element aus x gibt, das eine höhere Auszahlung als c besitzt. In diesem Fall ist eine Einigung für alle gewinnbringender als die Konfliktlösung c. Im Lösungsproblem gibt es für alle Spieler*innen mehrere Elemente aus x, die größer sind als c. Wenn beispielsweise der Status quo c einer Verhandlung erhalten bleibt, unabhängig von der Entscheidung der Spieler*innen, so liegt ein Verhandlungsproblem vor. Sollten die Spieler*innen gleichzeitig aber die Möglichkeit haben, sich zwischen verschiedenen, höher auszahlenden Elementen aus u entscheiden zu können, dann liegt gleichzeitig das Lösungsproblem vor (Helmold, M., 2023, „Verhandlungen gewinnen“).

Die Nash-Lösung ist ein Lösungskonzept der axiomatischen Verhandlungstheorie nach John Nash. Sie beschreibt ein mathematisches Verfahren, das jedem Verhandlungsspiel genau ein eindeutiges und rational begründetes Verhandlungsergebnis zuordnet. Die Nash-Lösung wählt aus der Menge aller möglichen Vereinbarungen in P genau jenen Auszahlungsvektor aus, der das Produkt dieser individuellen Kooperationsgewinne maximiert. Formal lässt sich dieses sogenannte Nash-Produkt wie folgt darstellen:

Extremlösungen, die eine*n Spieler*in stark bevorzugen und den*die andere*n nahe an seinen Konfliktpunkt c rücken, führen zu einem kleineren Produkt und werden somit mathematisch ausgeschlossen. Das Ergebnis von Nashs Ansatz besteht darin, dass dieser Maximierungsansatz die einzige Lösung ist, die vier ökonomisch plausible Axiome gleichzeitig erfüllt:

1. die Pareto-Optimalität definiert, dass der gesamte Kooperationsgewinn ausgeschöpft wird und keine Nutzensverschwendung vorliegt.
2. das Axiom der Symmetrie sorgt dafür, dass Akteur*innen mit gleichen Voraussetzungen und Handlungsmöglichkeiten denselben Nutzenzuwachs erzielen.
3. das Ergebnis bleibt durch die Unabhängigkeit von äquivalenter Nutzentransformation gleichbleibend gegenüber linearen Skalierungen der Nutzenfunktionen.
4. die Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen stellt sicher, dass das Streichen nicht gewählter Optionen aus dem Auszahlungsraum die ursprüngliche Lösung nicht verändert.
   

Doch wie sind unsere Erfahrungen in Verhandlungen?

Dafür möchte ich besonders ein Beispiel betrachten, das eine sichere Auszahlungsoption c beinhaltet. So hatten wir im Verhandlungsspiel „The Big Deal Game“ das Ziel, mit unserem*unserer geheimem*geheimer Teampartner*in möglichst viele Punkte beim Ver- und Ankauf von Farbblöcken zu einer geforderten Konstellation zu sammeln. Eine Person hatte wechselweise die Rolle des Verhandelnden inne. Diese Person hatte immer die Möglichkeit, den für die Runde geltenden Durchschnittspreis für einen Block als sicheren Ausgang in Anspruch zu nehmen. So konnten Verhandlungen beeinflusst und Zeit- und Finanzdruck von Seiten der Verhandlungsleitung erzeugt werden. Denn letztendlich hatten so vorher bereits entstandene Koalitionen und damit zusammenhängende Kartelle nicht durchgängig die Möglichkeit, ihren Vorteil auszuspielen. Gleichzeitig konnte die leitende Person so die Angebote ebendieser Kartelle auf einen niedrigeren Preis verhandeln, mit \(c\) als Druckmittel. Daraus könnte sich schlussfolgern lassen, dass eine sichere Auszahlungsoption \(c\) einen Einfluss in vertragsfreien Verhandlungen haben könnte. In diesem Beispiel hat besonders die verhandlungsleitende Position einen Vorteil, der zwar gering ist, aber gleichzeitig so dafür sorgen kann, dass Kartelle nicht durchgehend im Vorteil sind.

Koalitionen

In vielen alltäglichen Spielen stellen Koalitionen eine zentrale Rolle dar, wenn die Spielenden allein keinen Gewinn erzielen können oder die Wahrscheinlichkeit des Gewinnes durch eine Koalition maximiert wird. Wie der Name schon vermuten lässt, koalieren Spielende innerhalb eines Spieles, wodurch durch für diese bestenfalls ein Nutzen wie zum Beispiel mehr Handlungsmöglichkeiten, eventuelle Mehrung von Ressourcen und weitere Vorteile entstehen können. Im Folgenden wird erläutert, wann es für die einzelnen Spielenden sinnvoll ist, eine Koalition einzugehen und wie man diesen Nutzen darstellen und deuten kann. Die Spiellösungen von Koalition werden anschließend im Teil der nicht-kooperativen Spiele aufgegriffen (Wierach, H., 2012, S. 3).

Bei einer Koalitionsentscheidung muss zunächst zwischen einem transferierbaren und nicht-transferierbaren Nutzen differenziert. Dazu benötigt es ein Medium, welches als klarer Nutzen innerhalb eines Spieles fungiert, wie beispielsweise Geld oder Ressourcen. Handelt es sich um einen transferierbaren Nutzen, sollte dieser einen Vorteil beim Übertragen zwischen den Mitgliedern einer Koalition schaffen und nicht für Verlust sorgen. Bei einem nicht-transferierbaren Nutzen kann der Nutzen zwischen den Mitgliedern einer Koalition beliebig aufgeteilt werden. Deshalb wird jeder Koalition nicht nur ein einzelner Wert, sondern eine Menge möglicher Nutzen zugeordnet. Diese zeigen, welchen Nutzen die einzelnen Mitglieder der Koalition jeweils erhalten. (Holler, M., Illing, G., 2003, S. 268)

Beispielsweise kann man in der Abbildung 1 vom Gewinnpotential eines homogenen Dyopols einen Zusammenschluss von zwei Akteuren zu einem Dyopol erkennen, mit dem Ziel, den Gesamtgewinn zu erhöhen. Sind Seitenzahlungen möglich, kann dieser Gewinn anschließend frei zwischen den Unternehmen aufgeteilt werden. Es handelt sich also bei der Verteilung des Nutzen, in diesem Fall Geld, um einen transferierbaren Nutzen. (Holler, M., Illing, G., 2003, S. 268)

Durch die Betrachtung der charakteristischen Form kann der Mindestwert des Nutzen N einer Koalition bestimmt werden. Die Grundregel beim Schluss der Koalition mit transferierbarem Nutzen ist, dass der Nutzen bei einem Zusammenschluss nicht kleiner sein sollte als der Nutzen der einzelnen Mitgliedern, würden sie alleine agieren. Wenn der Nutzen mit einer Koalition größer ist, wird dies Superadditivität genannt. Um dies zu berechnen müssen erst einmal die einzelnen Parameter festgelegt werden:

• v = charakteristische Funktion: sie gibt an, welchen Nutzen eine Koalition erreichen kann
• S = eine Koalition, also die Teilmenge der Spieler*innen
• T = eine weitere Koalition, mit auch einer Teilmenge aus Spieler*innen
• N = Menge aller Spieler des Koalitionsspiels
• \(S \cup T\) = Zusammenschluss von S und T, also die gemeinsame Koalition beider Gruppen

Die Formel besagt, dass der gemeinsame Nutzen zweier Koalitionen mindestens so groß ist wie die Summe ihrer einzelnen Nutzen. Voraussetzung dafür ist, dass die beiden Koalitionen keine gemeinsamen Spieler*innen enthalten. Für eine Koalition mit 0 Spielenden gilt \(v(\varnothing) = 0\), da ohne Spielende auch kein Nutzen entsteht. Dieser Nutzen kann als Zahl angegeben werden. Bei einem nicht-transferierbaren Nutzen reicht eine einfache Zahl nicht aus und es wird die Nutzenverteilung zwischen den Spielenden betrachtet.

Zusammenfassend kann man bei Koalitionen sagen, dass es im Falle einer Superaddivität immer am rationalsten ist, eine Koalition einzugehen und dieser loyal zu bleiben. Wenn alle Mitglieder*innen dieser Koalition sich an die Vereinbarungen halten, kann sich so ein Vorteil verschafft werden und kann die Gewinnwahrscheinlichkeit erhöhen. Um diesen Vorteil nutzen zu können, muss allerdings das Brechen mit der Koalition mit Strafen besetzt und das Zusammenhalten mit einem Vorteil verbunden sein. Diese Erfahrung konnte ich in dem Spiel „The Big Deal Game“ selbst erleben. Dieses wurde zuvor bereits beschrieben. So gab es unterschiedlich viele Farbblöcke von den unterschiedlichen Farben: am seltensten gab es die seltenen weißen Blöcke, die nur zweimal im Spiel vorhanden waren, dabei jedoch für alle essentiell. So haben die beiden Spielenden mit den weißen Blöcken koaliert und hatten so die Möglichkeit, den Preis so hoch wie erwünscht anzusetzen. Dies konnte nicht verhindert werde, da in den meisten Koalitionen weiß inkludiert werden musste. Diese Strategie war allerdings nur erfolgreich, solange die Spielenden sich vertraut haben und dieses Vertrauen in keinem Fall durch Unterbieten gebrochen haben.

Kooperative Spiele

Nun folgt nach dem Blick auf die Grundlagen der kooperativen Spieltheorie der auf die Spiellösungen von Koalitionen. Um die kooperative Spieltheorie zu erklären, müssen einige Grundbegriffe geklärt werden. Zunächst:

Die Superadditivität beschreibt, dass Koalitionen in Kooperation einen höheren Nutzen erzielen als allein. Hierbei ist zu beachten, dass eine Koalition auch aus nur einem einzelnen Spielenden bestehen kann.

(Wiese, H., 2004, „Kooperative Spieltheorie“, S. 6-8, S. 89, S. 118-123)

Weiterführend werden die kooperativen Spiele und der Nutzen von Koalitionen betrachtet. Der durch eine Koalition zusätzlich entstehende Gewinn wird auf alle Kooperationsmitglieder*innen fair und effizient verteilt. Doch was ist eigentlich fair? Um darauf eine Antwort zu finden, betrachten wir den Kern, den marginalen Beitrag und den Shapley-Wert, um dann die Shapley-Lösung .

Der Kern oder auch Core beschreibt den Gewinn, den alle Parteien auch eigenständig erreichen können. Daher kann eine Koalitionsverhandlung nur gelingen, wenn die Parteien mindestens den Kern ausgezahlt bekommen. Um die Axiome eines Kerns zu erläutern, benötigen wir zunächst den Auszahlungsvektor x:

Dieser ist genau dann ein Kern, wenn die gesamte Spieler*innenmenge N = {1,2,…,n} genau den Gesamtwert verteilt, also:

und eben die Stabilität, also dass keine Partei ihren Gewinn durch ein Verlassen der Koalition erhöhen kann. Mathematisch ausgedrückt:

(Wiese, H., 2004, „Kooperative Spieltheorie“, S. 143f)

Die Shapley-Lösung gibt vor, dass alle Spielenden ein durchschnittlicher Nutzen in einer Koalition zugeordnet wird, der Shapley-Wert. Der Shapley-Wert setzt sich, gewichtet durch den marginalen Beitrag, aus allen möglichen Kombinationen an Koalitionen zusammen. Im Folgenden wird der marginale Beitrag erklärt, beginnend mit der Formel:

Dabei ist:

Dieser gibt die Wertigkeit einer Koalitionskombination an.

Nun wird die Gewichtung betrachtet:

Die Gewichtung ist die Anzahl möglichen Koalitionen.

Anschließend lässt sich auf den Shapley-Wert schließen:

(Wiese, H., 2004, „Kooperative Spieltheorie“, S. 215f)

Der Shapley-Wert ist die Summe aller marginalen Beiträge, gewichtet anhand der noch möglichen Koalitionen.

Nun wird die Shapley-Lösung mittels der Shapley-Formel und dem daher errechneten Shapley-Wert in einem Beispiel beleuchtet.

Es geht um drei Spieler*innen, die ein Spiel spielen, in welchem sie sich ein Taxi teilen wollen. Das Problem ist jedoch, dass sie unterschiedlich weit weg wohnen und daher, wenn sie sich zusammen tun, mehr bezahlen müssen. Die Koalitionsfunktion \(v \) beschreibt in diesem Falle die Strecke, die gefahren werden muss bzw. das zu zahlende Geld der Spieler*innen. Spieler*in 3 \(i_3\) muss dabei die weiteste Strecke zurücklegen.

Spieler \(i_1,i_2,i_3\) wollen mit dem Taxi an verschiedene Orte fahren. Für die Strecken bezahlen sie jeweils \(v(i_1):20, v(i_2):30,v( i_3):40\) , wenn sie sich ein Taxi teilen dann bezahlen sie nur für die längste Strecke der Spieler*innen der Koalition, also \(v_{1,2}=30\) , \(v_{1,3}=40\) , \(v_{2,3}=40\) , \(v_{1,2,3}=40\) und so weiter.

Um die Koalition \(v_{1,2,3}\) beschreiben zu können, wird die gewichtete Summe aller marginalen Beiträge benötigt. Nun wird die Koalition \(s_{1,2,3}\) aus Sicht des*der Spieler*in \(i_1\) betrachtet.

Im Falle dieser Koalition lässt sich der Wert für \(\phi_1 = 6 \frac{2}{3}, \phi_2 = 11 \frac{2}{3},\phi_1 = 23 \frac{1}{3}\) errechnen, was bedeutet, dass der Auszahlungsvektor, hier die Kosten, dem entsprechend \(x_{Kosten}= \{ \phi_1 = 6 \frac{2}{3}, \phi_2 = 11 \frac{2}{3},\phi_1 = 23 \frac{1}{3}\}\) ist.

(aus dem Englischen: Kübler, R., 2024, „Shapley Values Clearly Explained“)

Fazit

Literaturverzeichnis

Güth, W., 1999 (2. Auflage), Spieltheorie und ökonomische (Bei)Spiele, Springer

Helmold, M., 2023, Verhandlungen gewinnen

Fisher, R., Ury, W., 2011, „Getting to yes“

Holler, M., Illing, G., 2003, „Einführung in die Spieltheorie“, Springer

Kübler. R, 2024, „Shapley Values Clearly Explained“ (28.08.26)

Wiese, H., 2004, „Kooperative Spieltheorie“

Wierach, H., 2012, ,,The Core – Der Kern eines Koalitionsspiels“ (Seminarvortrag)

Wie stark eine Alternative die Verhandlungsposition stärkt, zeigt sich am Beispiel eines Versicherungsnehmenden, der bei einem günstigeren Konkurrenzangebot nicht wechselt, sondern damit seinen/ ihre bestehende*n Anbieter*in zu einem besseren Preis bewegt (Watkins, 2024, S.36). Durch fehlende Alternativen seitens des Anbietenden ist dieser wiederum dazu gezwungen eine Preisanpassung vorzunehmen.

Daraus folgt, dass Leverage keine feste Eigenschaft einzelner Spielender ist, sondern aus dem Verhältnis zwischen ihnen entsteht. Wer über Leverage verfügt, kann die Konsequenzen beeinflussen, die für den Mitspieler an eine Entscheidung geknüpft sind (Kirgis, Paul F., 2014, S. 101). Damit verschiebt sich der Blick von der Person auf die Situation. Eine Ressource bzw. bestimmte Position ist nur so viel wert, wie sie in dieser Situation für die anderen Beteiligten spürbare Folgen erzeugt. Genau deshalb ist Leverage dynamisch, es verändert sich mit jedem Zug, der die Ausgangslage der Beteiligten neu ordnet.

Wie diese Konsequenzen wirken, lässt sich in zwei Richtungen unterscheiden. Shell trennt zwischen Leverage, die aus der Erfüllung von Interessen entsteht. Dieses „positive Leverage“ arbeitet mit dem Versprechen eines Gewinns. Wer anderen etwas verschaffen kann, das sie ohne Kooperation nicht erreichen, lenkt deren Verhalten über Anreize. „Negative Leverage“ hingegen arbeitet mit der Drohung von Kostenauferlegung, also damit, dass dass die Kosten einer Verweigerung höher ausfallen als der Preis des Nachgebens (Shell, 2006, zitiert nach Kigris, 2014, S.105). 

Für die praktische Anwendung ist besonders relevant, dass positive Leverage nicht absolut wirkt. Ihre Wirksamkeit hängt davon ab, über welche beste Alternative die Gegenspieler*innen verfügen (Kirgis, Paul F., 2014, S. 121). Ein Angebot verliert seinen Wert in dem Maß, in dem die andere Seite dasselbe Ergebnis auch auf anderem Weg erreichen kann. Wer Leverage aufbauen will, muss folglich nicht nur die eigene Position stärken, sondern vor allem die Alternativen der Gegenspieler*innen einschätzen und, wenn möglich, schwächen. 

Zusammenfassend lässt sich Leverage als situationsgebundene Macht über Konsequenzen verstehen, die sich positiv über Interessenerfüllung oder negativ über Kostendrohung entfalten kann (Shell, G. Richard, 2006, zitiert nach Kirgis, Paul F., 2014, S. 105). Wer sie strategisch einsetzen will, muss die aktuelle Ausprägung der Spielsituation lesen und die Alternativen der anderen mitdenken, weil der eigene Vorteil erst dort entsteht, wo die Mitspielenden keinen gleichwertigen Ausweg haben (Kirgis, Paul F., 2014, S. 121). Der positive Individualnutzen ist so gesehen weniger das Ergebnis von Durchsetzungskraft als das Ergebnis präziser Situationsanalyse.

In den praktischen Anwendungen der Spiele während des Kurses haben wir erkannt, dass sowohl positive als auch negative leverage auf dasselbe Ergebnis zielen, sich aber in ihren gruppendynamischen Nebenwirkungen unterscheiden. Anreize binden die Spielenden tendenziell an die gemeinsame Sache, Drohungen erzeugen eher Widerstand. Zum Beispiel ereigneten sich Spielsituationen, in denen die proaktive Ausübung von negative leverage und der damit einhergehenden lenkenden Stellung mit kollektiven Reaktionen wie einer Gegenkoalition abgestraft wurde.

Literaturverzeichnis:

• Kirgis, P. F. (2014). Bargaining with consequences: Leverage and coercion in negotiation. Harvard Negotiation Law Review, 19(1), 69–110. 
• Shell, G. R. (2006). Bargaining for advantage: Negotiation strategies for reasonable people (2nd ed.). Penguin Books. 
• Watkins, J. (2024). A guide to effective negotiations. Fanshawe College Pressbooks.