Rational und taktisch entscheiden

Wir sind in unserem Leben ständig Spielen ausgesetzt. Sobald mehrere Personen Entscheidungen treffen, stellt sich die Frage, welche Strategie sich bei den gegebenen Bedingungen am meisten lohnt. In dem folgenden Bericht beschäftigen wir uns mit genau diesen strategischen Entscheidungssituationen und Möglichkeiten die rationalste Entscheidung zu finden. Dabei muss man verschiedene Faktoren beachten, wie zum Beispiel die Art des Spiels oder ob ein Spiel nur einmal oder mehrmals gespielt wird und was für ein Informationsstand man hat. Die Betrachtung dieser Faktoren kann dabei helfen, Entscheidungen besser einzuschätzen und gezielt Strategien für unterschiedliche Situationen zu entwickeln. 

Nullsummenspiel

Um die Anwendung von Taktik und Strategie genauer zu betrachten, untersucht man zunächst die besondere Spielsituation eines Nullsummenspiels. Wie schon zuvor erläutert, ist ein Nullsummenspiel eine besondere Art des Spiels, in dem die Interessen der Spielenden vollkommen gegensätzlich sind. Der Gewinn einer spielenden Person entspricht dabei genau dem Verlust der anderen spielenden Person. Die Summe der Auszahlungen aller Spielenden beträgt somit immer null. In einem Zwei-Personen-Nullsummenspiel gilt für die Auszahlungen der beiden Spielenden daher:

Dies bedeutet, dass eine Verbesserung der Auszahlung einer spielenden Person automatisch zu einer gleich großen Verschlechterung der Auszahlung der anderen spielenden Person führt. Die Spielenden stehen somit in direkter Konkurrenz zueinander. Deswegen wird häufig auch der Begriff strikt kompetitive Spiele anstatt von Nullsummenspielen verwendet. Diese Art von Spielen können mithilfe Auszahlungsmatrizen dargestellt werden. Person 1 belegt hierbei die Zeilen und Person 2 die Spalten. Die Werte innerhalb der Matrix zeigen, welche Auszahlungen die Spielenden erhalten. Somit erhält die eine Person die Auszahlung des Verlustes der anderen Person (Holler und Illing, 2003).

Maximin und Minimax-Strategie

Ein Lösungskonzept für ein 2-Personen-Nullsummenspiel ist die Maximin-Strategie. Hierbei geht es darum, die minimale Auszahlung zu maximieren, während man davon ausgeht, dass die gegnerische Person die für einen selbst ungünstigste Strategie wählt. Dafür schaut sich eine spielende Person für alle ihre Strategien das schlechteste Ergebnis an und wählt anschließend die Strategie, bei der diese Auszahlung am höchsten ist.

In dem Beispiel würde Person 1 somit die Strategie „mitte“ wählen, weil 2 die höchste der minimalen Auszahlungen ist.

Eine andere Strategie für Nullsummenspiele ist die Minimax-Strategie. Bei dieser Strategie sorgen die Spielenden dafür, dass der Maximale Verlust minimiert, wird. Dabei betrachtet der/die Spieler*in den größten Verlust, den er/sie hat und wählt dann die Strategie, wo der Verlust am niedrigsten ist. Eine Besonderheit bei diesen beiden Strategien ist, dass sie auf die niedrigsten Auszahlungen ausgerichtet ist und dadurch Chancen auf höhere Auszahlungen nicht berücksichtigt werden.

In dem folgenden Beispiel ist für Spieler*in 2 der Maximale Verlust -4, wenn er links wählt, während es nur -2 ist, wenn er rechts wählt. Deswegen würde der/die Spieler*in mit der Minimax-Strategie „rechts“ wählen. 

Wiederholte Spiele

Ein wiederholtes Spiel bedeutet, dass dasselbe Spiel mehrmals in Folge gespielt wird. Dabei wird vorausgesetzt, dass jede*r Spieler*in rational denkt und stets im besten eigenen Interesse handelt. Zudem hat jede*r Spieler*in Zugriff auf perfekte Information, das heißt man hat vollständige Information über alle möglichen Züge und auch über die Historie der vorherigen Spielzüge mit den dazugehörigen Ergebnissen.

Diese mehrfach wiederholten Spiele werden auch als dynamische Spiele dargestellt:

$G = \{S_1, \ldots, S_n; u_1, \ldots, u_n\}$

Dabei wird das wiederholte Spiel G in die einzelnen Runden mit den jeweiligen Strategiemengen S unterteilt und die jeweiligen Auszahlungen mit u definiert. Mit jeder neuen Runde steigt die Anzahl an möglichen Kombinationen von Strategien an, was zur Bildung von Reinstrategien, Mischstrategien und Verhaltensstrategien führt (Fischedick, 2012).

Strategien

Im Folgenden wird zwischen Reinstrategie, Mischstrategie und Verhaltensstrategie in Nullsummenspielen anhand des Beispiels „Schere-Stein-Papier“ unterschieden.

Bei einer Reinstrategie wählt der*die Spieler*in in der gleichen Situation immer die selbe Strategie. Im Beispiel von Schere-Stein-Papier verwendet der*die Spieler*in beispielsweise immer Stein. Eine reine Strategie wird verwendet, wenn ein Nash-Gleichgewicht vorliegt und somit eine dominante Strategie vorhanden ist. Das heißt kein*e Spieler*in kann durch einseitiges Strategiewechseln einen Vorteil über die Gegnerpartei erlangen.

Im Gegensatz zu der Reinstrategie steht die Mischstrategie: Diese verwendet mehrere Reinstrategien zusammen, indem jede Reinstrategie mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit verwendet wird. So verwendet der*die Spieler*in zum Beispiel zu 40% Stein, zu 30% Schere und zu 30% Papier. Die Mischstrategie wird verwendet, wenn es keine dominante Strategie gibt und um für den*die Gegenspieler*in unberechenbar zu bleiben.

Bei der Verhaltensstrategie passt man die eigene Entscheidung dem*der Gegenspieler*in an. So kann die Verhaltensstrategie nach jedem Spielzug an den*die Gegner*in angepasst werden, indem man die Informationen aus den letzten Spielzügen anwendet. Im vorherigen Beispiel verwendet der*die Spieler*in öfters Stein, daher kann man sich mit der Verhaltensstrategie so anpassen, dass man mehr Papier verwendet, um einen Vorteil über den*die Gegner*in bekommen kann (Arnold E.,2008).

Wiederholtes Spielen – Gefangenendilemma

Durch die Betrachtung des klassischen Gefangenendilemmas haben wir bisher einmalige, sogenannte One-Shot-Games, kennengelernt. Wird ein Experiment wie das Gefangenendilemma nun wiederholt, so ändern sich die strategischen Möglichkeiten grundlegend. Doch wie beeinflusst das die Strategien der einzelnen Spieler*innen? Insbesondere ist nachweisbar, dass in wiederholten Dilemmata oft kooperative Strategien ein Nash-Gleichgewicht bilden können (Ross,2024).

Durch die wiederholte Durchführung eines Spiels verändert sich die strategische Entscheidungssituation, da die Spieler*innen nicht mehr ausschließlich die unmittelbare Auszahlung einer Handlung berücksichtigen, sondern auch die Auswirkungen ihres Verhaltens auf zukünftige Spielrunden einbeziehen. Insbesondere Vertrauen gewinnt dabei an Bedeutung. Wenn ein*e Spieler*in wiederholt kooperatives Verhalten zeigt, entsteht beim Gegenüber die Erwartung, dass dieses Verhalten auch in zukünftigen Runden fortgesetzt wird. Dadurch kann sich schrittweise eine stabile Vertrauensbeziehung entwickeln. Gleichzeitig ermöglicht die Wiederholung, das Verhalten des*der anderen Spieler*in zu beobachten und dessen*deren Zuverlässigkeit einzuschätzen. Eine Abweichung von der Kooperation kann dagegen das aufgebaute Vertrauen beschädigen und zukünftige Kooperation erschweren. Strategien werden somit nicht mehr ausschließlich anhand der aktuellen Situation gewählt, sondern an die bisherige Interaktionsgeschichte angepasst. Die wiederholte Interaktion schafft dadurch einen Mechanismus, bei dem Vertrauen durch konsistentes kooperatives Verhalten aufgebaut, durch opportunistisches Verhalten geschwächt und durch gegenseitige Reziprozität stabilisiert werden kann (Arnold, 2009).

Split or Steal

Wir haben in unserem Kurs die Auswirkungen des sequentiellen Spiels untersucht, indem wir „Split of Steal“ gespielt haben. Jede Person hat hierbei gegen acht Personen je drei Runden gespielt. Im Anschluss an das Spiel haben wir den Anteil des kooperativen Verhaltens in den einzelnen Runden untersucht, was in der unten stehenden Abbildung dargestellt ist. Auffällig ist, dass in den ersten beiden Runden der Anteil des kooperativen Verhaltens deutlich höher war als in der letzten Runde. Dies lässt sich einfach erklären. Zeigt man bereits in der ersten oder zweiten Runde nicht-kooperatives Verhalten, muss man ebenfalls mit nicht-kooperativem Verhalten als Reaktion rechnen. Dies hätte zur Folge, dass man in den verbleibenden Runden keinerlei Gewinn mehr macht. In der letzten Runde hingegen ist das Risiko geringer, nicht-kooperativ zu spielen, da keine weitere Runde gespielt wird. Da aber auch noch gegen weitere Personen gespielt wird, kann sich nicht-kooperatives Verhalten herumsprechen. Erstaunlicherweise sind die Reaktionen darauf teilweise sehr verschieden. Wie man es vermutlich erwarten würde, zeigten viele gegen Gegner*innen, die für nicht-kooperatives Verhalten bekannt waren, ebenfalls nicht-kooperatives Verhalten. Auf diese Weise wurde zwar in Kauf genommen, dass man selber in dem Spiel voraussichtlich keinen Gewinn macht, es wurde aber auch verhindert, dass der*die Gegner*in einen hohen Gewinn macht. Eine grundlegend andere Strategie im Spiel gegen voraussichtlich nicht-kooperative Spieler*innen war das konsequente kooperative Spiel. Auf diese Weise konnte man zumindest selber noch einen geringen Gewinn machen, nahm aber in Kauf, dass der*die Gegner*in einen hohen Gewinn macht. 

Robert Axelrod lud 1980 diverse Expert*innen der Spieltheorie aus den Bereichen Politikwissenschaft, Ökonomie, Psychologie, Mathematik und Soziologie ein, um an einem Wettbewerb teilzunehmen. Jeder von ihnen sollte ein Programm schreiben, das gegen alle anderen Programme ungefähr 200 Runden des Spiels „Split or Steal“, eine Abwandlung des Gefangenendilemmas, spielt. Dass ungefähr 200 Runden gespielt werden ist relevant, da, wenn bekannt ist, welche Runde die letzte ist, diese zum einfachen Gefangenendilemma wird und somit unabhängig von der bisherigen Strategie das Betrügen die dominante Strategie darstellt. Schließlich muss kein Vertrauen für die kommende Runde aufgebaut werden. Viele der Teilnehmer*innen entwarfen sehr komplexe Strategien oder versuchten, über möglichst hinterhältige Spielweisen durch Defektion Punkte zu sammeln. Jedoch gab es auch einfache Strategien, wie beispielsweise die des Ökonomen James W. Friedman, dessen Strategie so lange kooperiert, bis sie einmal von ihrem Gegenüber betrogen wird. Danach betrügt sie für den Rest des Spiels, ist also extrem nachtragend. Darüber hinaus gibt es auch unter anderem dauerhaft kooperative Strategien oder durchwegs defektierende Strategien (Diekmann,2009).

Nach der Betrachtung der Resultate fiel jedoch auf, dass sich eine gute Strategie aus vier Hauptattributen zusammensetzt. Fast alle der siegreichen Strategien waren „nette“ Strategien. Sie kooperierten zunächst und betrogen niemals zuerst. Des Weiteren waren die Strategien nicht nachtragend, sondern wechselten, nachdem sich die gegnerische Strategie kooperativ zeigte, auch wieder zum Kooperieren. Sie waren jedoch auch nicht naiv, sondern antworteten auf einen Betrug der gegnerischen Strategie ebenfalls selbst in der nächsten Runde mit Betrug. Darüber hinaus waren die meisten Strategien durch Programme mit weniger als 20 Zeilen modelliert, was auf eine niedrigere Komplexität und damit in der Regel auf eine hohe Berechenbarkeit schließen lässt (Diekmann, 2009).

Die letztendlich siegreiche Strategie heißt „Tit for Tat“. Sie beginnt mit Kooperation und kopiert danach immer die gegnerische Strategie aus der vorherigen Runde. Kooperiert die gegnerische Strategie in der vorherigen Runde, kooperiert Tit for Tat ebenfalls in der darauffolgenden Runde. Wird Tit for Tat betrogen, schlägt die Strategie in der nächsten Runde zurück (Diekmann, 2009).

Ein anschauliches, reales Anwendungsbeispiel für Tit for Tat findet sich im Wettbewerb zwischen Unternehmen, die regelmäßig miteinander konkurrieren. Besonders deutlich wird dies etwa bei zwei Supermärkten, die in derselben Region dauerhaft miteinander im Wettbewerb stehen. Beide Unternehmen haben grundsätzlich die Möglichkeit, ihre Preise niedrig zu setzen, um kurzfristig Marktanteile zu gewinnen, oder ein höheres Preisniveau beizubehalten, von dem beide profitieren. 

Würde das Preissetzungsverhalten nur einmalig betrachtet, bestünde für jedes Unternehmen ein Anreiz, den Preis des Konkurrenten zu unterbieten. Da die Unternehmen jedoch über einen längeren Zeitraum wiederholt aufeinandertreffen, können heutige Entscheidungen die zukünftigen Reaktionen des Konkurrenten beeinflussen. Diese wiederholte Interaktion ist die Grundlage für die Anwendung von Tit for Tat. In wiederholten Spielen kann eine Spielerin vergangenes Verhalten des/der Gegenspieler*in bei seiner/ihrer aktuellen Entscheidung berücksichtigen. 

Übertragen auf den Wettbewerb der beiden Supermärkte würde Tit for Tat bedeuten, dass ein Unternehmen zunächst kooperativ handelt und beispielsweise ein stabiles Preisniveau beibehält. Solange die Konkurrenz ebenfalls auf aggressive Preissenkungen verzichtet, besteht für beide Unternehmen ein Anreiz, dieses Verhalten fortzusetzen. Senkt jedoch einer der beiden Supermärkte seine Preise deutlich, um kurzfristig zusätzliche Kund*innen zu gewinnen, würde der andere Supermarkt darauf in der nächsten Periode mit einer entsprechenden Preissenkung reagieren. Der ursprüngliche Preisunterbietende erzielt dadurch zwar zunächst einen Vorteil, muss anschließend jedoch mit einer Gegenreaktion rechnen. Der kurzfristige Gewinn aus der Abweichung wird somit durch einen möglichen zukünftigen Verlust relativiert. Eine solche wechselseitige Reaktion kann dazu beitragen, dass beide Unternehmen langfristig ein kooperatives Verhalten aufrechterhalten, obwohl jeder einzelne Akteurin grundsätzlich einen Anreiz zur kurzfristigen Abweichung besitzt. 

Informationstheorie 

Information bezeichnet die Menge an Wissen, über die alle Spielenden hinsichtlich der eigenen und der anderen Rollen im Spiel sowie über das Spiel selbst verfügen. Gemeinsames Wissen (Common Knowledge) ist dabei ein Aspekt des Spiels, der allen bekannt ist und dessen Bekanntheit auch allen anderen bewusst ist. Dabei stellt die Informationsmenge P_i einer spielenden Person die Menge an Informationen über das Spiel, den bisherigen Spielverlauf, die jetzige Position der Person sowie ihre Möglichkeiten und Chancen dar (Myerson, 1991). 

Es existieren zwei hauptsächliche Informationszustände: Perfekte und imperfekte Information. Bei perfekter Information besitzen alle Spielenden vollständiges Wissen über alle Spielzüge, Auszahlungen und Nutzen aller Beteiligten eines Spiels. Dadurch wissen sie mit vollkommener Sicherheit, an welchem Punkt im Spiel sie stehen und welche Zugmöglichkeiten sie in Abhängigkeit von den Gegenspielenden haben. Perfekte Information kann nur bei perfektem Erinnerungsvermögen aller Spielenden (perfect recall) eintreten, sodass ein komplettes Bild aller vorangegangenen Handlungen vorhanden ist. 

Imperfekte Information hingegen bedeutet eine oder mehrere spielende Personen besitzen keine vollständige Information über Spielzüge, Auszahlungen und Taktiken der Gegenspielenden und können sich daher nicht auf diese abstimmen. Die jeweilige Person weiß in einem sequentiellen Spiel daher nicht, an welchem Knotenpunkt des Spiels sie sich befindet. Dadurch können manche Verhaltensstrategien nicht angewendet werden, da die nötige Anpassung an die Gegenspielenden nicht gegeben ist (Holler et al., 2006). 

Bayes’sche Spiele 

Ein Bayes’sches Spiel ist ein Spiel mit unvollständiger Information, das heißt, die spielende Person muss auf die Handlung der Gegenseite spekulieren, zum Beispiel anhand einer Zuordnung zu einem Spielertyp. Dadurch können typabhängige Handlungen und Möglichkeiten geschätzt werden. Diese Typeigenschaften einer spielenden Person werden als von der Natur ausgesucht erachtet, und zwischen ihnen wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgestellt, auf welcher dann die gemischten Strategien basieren (Holler et al., 2006). 

Dennoch stellen sie meist „Hidden Action“-Probleme dar, da alle oder manche Handlungen der Gegenseite den Spielenden nicht bekannt sind. Dabei stellt das Verstecken der Handlungen einen strategischen Vorteil dar. Der beidseitige Versuch, durch das Verbergen von Informationen einen strategischen Vorteil zu erlangen, kann jedoch auch zu beidseitig niedrigeren Informationsständen führen, als wenn transparent gespielt würde (Tadelis, 2013). 

Durch die Beobachtung von ersichtlichen Handlungen der Gegenseite können Rückschlüsse auf andere, verborgene Aktionen gezogen werden, sofern beide Seiten stets rational handeln. Dies lässt jedoch einen Raum für Interpretation offen, der auch zu deutlich erschwerten Spielen und suboptimalen Ausgängen führen kann. 

In Spielen mit imperfekter Information, besonders wenn verschiedene Handlungen nicht hinreichend abschätzbare Risiken bergen, ist eine Kalkulation und Abwägung der verschiedenen Möglichkeiten eines Spielzugs vonnöten. Dazu muss zuerst die Unsicherheit des Eintretens eines Ereignisses berechnet werden, wozu die Informationstheorie nach Claude Shannon hinzugezogen wird. 

Shannons Informationstheorie 

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter Unsicherheit abzuschätzen, muss zuerst der Grad der Unsicherheit eines Systems berechnet werden. Das lässt sich auch als Entropie bezeichnen. 

Je höher die Unsicherheit des Ausgangs eines Systems ist, d. h. je mehr mögliche Informationen beziehungsweise Ausgänge es gibt, desto höher die Entropie. Dabei existiert Entropie nur vor der Auflösung des Systems, solange noch mögliche Entscheidungen ausstehen. Information wird hier in Bits gemessen, d. h. je mehr Bits, desto mehr Information ist in einem System enthalten (Shannon, 1984). Die Entropie kann mit der folgenden Formel berechnet werden: 

Beispiel: Poker 

Beim Poker erhält jede spielende Person zwei Karten, die den anderen unbekannt bleiben. Nach und nach werden zuerst drei, dann noch zwei Karten in der Tischmitte für alle Spielenden aufgedeckt. Ziel ist es letztlich, mit den eigenen Karten und den fünf Gemeinschaftskarten in der Mitte eine gewinnbringende Fünfkartenkombination zu legen, z. B. eine Straße, ein oder zwei Paare oder einen Flush. Durch das Einsetzen von Chips wird darauf gewettet, dass die eigenen Karten besser sind als die der anderen Mitspielenden und deshalb die Einsätze gewonnen werden. Bei schlechteren Karten kann auch geblufft und darauf gehofft werden, dass die anderen unter der Annahme der eigenen Chancenlosigkeit aussteigen, sodass letztendlich doch gewonnen wird. 

In diesem Spiel ist die Informationstheorie besonders bei der Einschätzung der Karten und der Taktik der Gegenseite wichtig, da mit imperfekter Information gespielt wird. Die Entropie ist sehr hoch, da es eine hohe Anzahl an möglichen Kartenkombinationen pro Spielenden gibt, die jeweils vorhergesehen werden müssen. Weiterhin bleibt ungewiss, welche Karten potenziell in den weiteren Runden noch in der Mitte aufgedeckt werden könnten, die eventuell zum eigenen Gewinn oder Verlust führen könnten. Dadurch entwickeln sich verschiedene Strategien, z. B. von Anfang an viel Geld zu setzen, um selbstsicher zu wirken und die anderen einzuschüchtern, zurückhaltend zu spielen, um den möglichen Verlust zu minimieren, und frühzeitig auszusteigen, da die Chancen auf einen Gewinn als unwahrscheinlich eingeschätzt werden. 

Dennoch lassen sich den Spielenden besonders bei mehrfachem Spielen bestimmte Spieltypen zuordnen, z. B. der eines abwägenden Taktikers oder der eines leichtsinnigen Bluffers, der stets viel Geld setzt (Holler et al., 2006). 

Damit lässt sich auch die Wahrscheinlichkeit eines Bluffs etwas besser einschätzen, da das Verhalten der jeweiligen Person je nach Karten vorhersehbarer wird. Es bietet sich deshalb die GTO, die Game Theory Optimal, als Strategie an, um unberechenbar zu bleiben. Sie besagt, dass mit einer Strategie gespielt werden muss, die einen Rückschluss der Mitspieler auf die tatsächliche Spielsituation verhindern, da die Reaktionen des Spielers unberechenbar bleiben.  

Durch die Berechnung der Entropie und der möglichen Kartenkombinationen mit den aufgedeckten Karten kann das Risiko der verschiedenen Spielzüge annähernd abgeschätzt werden. Dabei müssen der benötigte Einsatz, der mögliche Gewinn und die Wahrscheinlichkeitsverteilung zwischen diesen Möglichkeiten beachtet werden. Mit all diesen Schritten kann ein sehr glücksabhängiges Spiel mit einer mathematischen Herangehensweise besser erschlossen werden. 

Fazit

Unter Betrachtung der obigen Strategien wird klar, dass es nicht die eine beste Strategie gibt, sondern dass die Strategie immer an die jeweilige Situation angepasst werden muss. Bei Nullsummenspielen besteht beispielsweise die Wahl zwischen der Minimax- und der Maximaxstrategie sowie die Unterscheidung zwischen Rein-, Misch- und Verhaltensstrategien. Bei wiederholten Spielen hingegen sind Faktoren wie Vertrauen, Kooperation und die Analyse vergangener Spielzüge entscheidend für die Wahl der Taktik. Bei Spielen mit imperfekten Informationen müssen zusätzlich Wahrscheinlichkeiten für unsichere Ereignisse berücksichtigt werden. Die optimale Strategie hängt also von Erfahrungen, Wissen, Wahrscheinlichkeiten und dem jeweiligen Spiel selbst ab und muss zwingend an die Situation angepasst gewählt werden.

Quellenverzeichnis

Arnold, E. (2009). Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I. Bayreuth: Universität Bayreuth. 

Diekmann, A. (2009). Spieltheorie: Einführung, Beispiele, Experimente (3. Aufl.). Reinbek bei Hamburg: Rowohlt Taschenbuch Verlag 

Fischedick E. (2012), Seminarvortrag Extensive Spiele mit imperfekter Information, https://www.uni-muenster.de/Stochastik/lehre/SS12/SeminarAnwendungenWT/Vortraege/Fischedick.pdf

Holler, M. J., & Illing, G. (2003). Einführung in die Spieltheorie (5. Auflage). Springer  

Myerson, R. B. (1991). Game theory: Analysis of conflict. Harvard University Press.

Ross, D. (2024). Game Theory. In E. N. Zalta & U. Nodelman (Hrsg.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2024 Edition). Metaphysics Research Lab, Stanford University 

Tadelis, S. (2013). Game theory: An introduction. Princeton University Press.

Winter S. (2014), Grundzüge der Spieltheorie, Springer