Verhandlung durch mathematische Abschätzung

Ben Saß, Helena Ostrop, Luna Kluck, Luis Schikert

„Sie sind ein Verhandler, ob es Ihnen gefällt oder nicht. Verhandeln ist ein ‘fact of life’. Jeder und jede verhandelt jeden Tag über etwas.” (aus dem Englischen: Fisher, R., Ury, W., 2011, „Getting to yes“). Doch wie können wir diese (Zwangs-)Lage mathematisch betrachten und für uns maximieren?

Verhandlung

Dafür betrachten und definieren wir zu Beginn das Verhandlungsspiel und die Nash-Lösung.

In einem Verhandlungsspiel werden die Spieler*innen stets als individuell und isoliert handelnd betrachtet, solange keine bindenden Verträge geschlossen werden können. Es kann ebenfalls zu Verhandlungen in nicht-kooperativen Spielen kommen. In solchen Fällen sind bindende Verträge allerdings nicht möglich. Verhandlungen sind unter perfekter sowie imperfekter Information möglich, wobei oft fälschlicherweise von perfekter Information ausgegangen wird. Das Verhandlungsergebnis wird häufig umgangssprachlich als Lösung bezeichnet. Die Spieler*innen oder Parteien müssen einen Anreiz haben zu verhandeln, sodass das Gesamtergebnis durch eine Einigung größer ist als die Summe ihrer Einzeloptionen (Helmold, M., 2023, „Verhandlungen gewinnen“).

Die Verhandlungsmenge beschreibt die Menge aller mathematisch und praktisch möglichen Auszahlungskombinationen, die die Parteien durch eine Vereinbarung erreichen können (Helmold, M., 2023, „Verhandlungen gewinnen“).

Der Auszahlungsraum wird folgendermaßen definiert:

x = (x_1,x_2,…x_n)

In einer Verhandlung wählen die Spieler*innen aus dem Auszahlungsraum x des Spiels B. c ist dabei die Option, die umgesetzt wird, wenn keine Einigung getroffen werden kann.

c ist also folgendermaßen definiert:

c= \text{sichere Auszahlung}

Das Verhandlungsproblem beschreibt die Situation, in der es für alle Spieler*innen genau ein Element aus x gibt, das eine höhere Auszahlung als c besitzt. In diesem Fall ist eine Einigung für alle gewinnbringender als die Konfliktlösung c. Im Lösungsproblem gibt es für alle Spieler*innen mehrere Elemente aus x, die größer sind als c. Wenn beispielsweise der Status quo c einer Verhandlung erhalten bleibt, unabhängig von der Entscheidung der Spieler*innen, so liegt ein Verhandlungsproblem vor. Sollten die Spieler*innen gleichzeitig aber die Möglichkeit haben, sich zwischen verschiedenen, höher auszahlenden Elementen aus u entscheiden zu können, dann liegt gleichzeitig das Lösungsproblem vor (Helmold, M., 2023, „Verhandlungen gewinnen“).

Die Nash-Lösung ist ein Lösungskonzept der axiomatischen Verhandlungstheorie nach John Nash. Sie beschreibt ein mathematisches Verfahren, das jedem Verhandlungsspiel genau ein eindeutiges und rational begründetes Verhandlungsergebnis zuordnet. Die Nash-Lösung wählt aus der Menge aller möglichen Vereinbarungen in P genau jenen Auszahlungsvektor aus, der das Produkt dieser individuellen Kooperationsgewinne maximiert. Formal lässt sich dieses sogenannte Nash-Produkt wie folgt darstellen:

u^* = \arg\max_{(x_1, x_2) \in P} (x_1 – c_1)(x_2 – c_2) \quad \forall \; x_1 \gt c_1 \text{ und } x_2 \gt c_2

Extremlösungen, die eine*n Spieler*in stark bevorzugen und den*die andere*n nahe an seinen Konfliktpunkt c rücken, führen zu einem kleineren Produkt und werden somit mathematisch ausgeschlossen. Das Ergebnis von Nashs Ansatz besteht darin, dass dieser Maximierungsansatz die einzige Lösung ist, die vier ökonomisch plausible Axiome gleichzeitig erfüllt:

die Pareto-Optimalität definiert, dass der gesamte Kooperationsgewinn ausgeschöpft wird und keine Nutzensverschwendung vorliegt.
das Axiom der Symmetrie sorgt dafür, dass Akteur*innen mit gleichen Voraussetzungen und Handlungsmöglichkeiten denselben Nutzenzuwachs erzielen.
das Ergebnis bleibt durch die Unabhängigkeit von äquivalenter Nutzentransformation gleichbleibend gegenüber linearen Skalierungen der Nutzenfunktionen.
die Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen stellt sicher, dass das Streichen nicht gewählter Optionen aus dem Auszahlungsraum die ursprüngliche Lösung nicht verändert.

Doch wie sind unsere Erfahrungen in Verhandlungen?

Dafür möchte ich besonders ein Beispiel betrachten, das eine sichere Auszahlungsoption c beinhaltet. So hatten wir im Verhandlungsspiel „The Big Deal Game“ das Ziel, mit unserem*unserer geheimem*geheimer Teampartner*in möglichst viele Punkte beim Ver- und Ankauf von Farbblöcken zu einer geforderten Konstellation zu sammeln. Eine Person hatte wechselweise die Rolle des Verhandelnden inne. Diese Person hatte immer die Möglichkeit, den für die Runde geltenden Durchschnittspreis für einen Block als sicheren Ausgang in Anspruch zu nehmen. So konnten Verhandlungen beeinflusst und Zeit- und Finanzdruck von Seiten der Verhandlungsleitung erzeugt werden. Denn letztendlich hatten so vorher bereits entstandene Koalitionen und damit zusammenhängende Kartelle nicht durchgängig die Möglichkeit, ihren Vorteil auszuspielen. Gleichzeitig konnte die leitende Person so die Angebote ebendieser Kartelle auf einen niedrigeren Preis verhandeln, mit \(c\) als Druckmittel. Daraus könnte sich schlussfolgern lassen, dass eine sichere Auszahlungsoption \(c\) einen Einfluss in vertragsfreien Verhandlungen haben könnte. In diesem Beispiel hat besonders die verhandlungsleitende Position einen Vorteil, der zwar gering ist, aber gleichzeitig so dafür sorgen kann, dass Kartelle nicht durchgehend im Vorteil sind.

Koalitionen

In vielen alltäglichen Spielen stellen Koalitionen eine zentrale Rolle dar, wenn die Spielenden allein keinen Gewinn erzielen können oder die Wahrscheinlichkeit des Gewinnes durch eine Koalition maximiert wird. Wie der Name schon vermuten lässt, koalieren Spielende innerhalb eines Spieles, wodurch durch für diese bestenfalls ein Nutzen wie zum Beispiel mehr Handlungsmöglichkeiten, eventuelle Mehrung von Ressourcen und weitere Vorteile entstehen können. Im Folgenden wird erläutert, wann es für die einzelnen Spielenden sinnvoll ist, eine Koalition einzugehen und wie man diesen Nutzen darstellen und deuten kann. Die Spiellösungen von Koalition werden anschließend im Teil der nicht-kooperativen Spiele aufgegriffen (Wierach, H., 2012, S. 3).

Bei einer Koalitionsentscheidung muss zunächst zwischen einem transferierbaren und nicht-transferierbaren Nutzen differenziert. Dazu benötigt es ein Medium, welches als klarer Nutzen innerhalb eines Spieles fungiert, wie beispielsweise Geld oder Ressourcen. Handelt es sich um einen transferierbaren Nutzen, sollte dieser einen Vorteil beim Übertragen zwischen den Mitgliedern einer Koalition schaffen und nicht für Verlust sorgen. Bei einem nicht-transferierbaren Nutzen kann der Nutzen zwischen den Mitgliedern einer Koalition beliebig aufgeteilt werden. Deshalb wird jeder Koalition nicht nur ein einzelner Wert, sondern eine Menge möglicher Nutzen zugeordnet. Diese zeigen, welchen Nutzen die einzelnen Mitglieder der Koalition jeweils erhalten. (Holler, M., Illing, G., 2003, S. 268)

Abbildung 1: Gewinnpotential eines homogenen Dyopols

Beispielsweise kann man in der Abbildung 1 vom Gewinnpotential eines homogenen Dyopols einen Zusammenschluss von zwei Akteuren zu einem Dyopol erkennen, mit dem Ziel, den Gesamtgewinn zu erhöhen. Sind Seitenzahlungen möglich, kann dieser Gewinn anschließend frei zwischen den Unternehmen aufgeteilt werden. Es handelt sich also bei der Verteilung des Nutzen, in diesem Fall Geld, um einen transferierbaren Nutzen. (Holler, M., Illing, G., 2003, S. 268)

Durch die Betrachtung der charakteristischen Form kann der Mindestwert des Nutzen N einer Koalition bestimmt werden. Die Grundregel beim Schluss der Koalition mit transferierbarem Nutzen ist, dass der Nutzen bei einem Zusammenschluss nicht kleiner sein sollte als der Nutzen der einzelnen Mitgliedern, würden sie alleine agieren. Wenn der Nutzen mit einer Koalition größer ist, wird dies Superadditivität genannt. Um dies zu berechnen müssen erst einmal die einzelnen Parameter festgelegt werden:

v = charakteristische Funktion: sie gibt an, welchen Nutzen eine Koalition erreichen kann
S = eine Koalition, also die Teilmenge der Spieler*innen
T = eine weitere Koalition, mit auch einer Teilmenge aus Spieler*innen
N = Menge aller Spieler des Koalitionsspiels
\(S \cup T\) = Zusammenschluss von S und T, also die gemeinsame Koalition beider Gruppen

v(S \cup T) \geq v(S) + v(T), \quad \forall \; S \cap T = \empty

Die Formel besagt, dass der gemeinsame Nutzen zweier Koalitionen mindestens so groß ist wie die Summe ihrer einzelnen Nutzen. Voraussetzung dafür ist, dass die beiden Koalitionen keine gemeinsamen Spieler*innen enthalten. Für eine Koalition mit 0 Spielenden gilt \(v(\varnothing) = 0\), da ohne Spielende auch kein Nutzen entsteht. Dieser Nutzen kann als Zahl angegeben werden. Bei einem nicht-transferierbaren Nutzen reicht eine einfache Zahl nicht aus und es wird die Nutzenverteilung zwischen den Spielenden betrachtet.

Zusammenfassend kann man bei Koalitionen sagen, dass es im Falle einer Superaddivität immer am rationalsten ist, eine Koalition einzugehen und dieser loyal zu bleiben. Wenn alle Mitglieder*innen dieser Koalition sich an die Vereinbarungen halten, kann sich so ein Vorteil verschafft werden und kann die Gewinnwahrscheinlichkeit erhöhen. Um diesen Vorteil nutzen zu können, muss allerdings das Brechen mit der Koalition mit Strafen besetzt und das Zusammenhalten mit einem Vorteil verbunden sein. Diese Erfahrung konnte ich in dem Spiel „The Big Deal Game“ selbst erleben. Dieses wurde zuvor bereits beschrieben. So gab es unterschiedlich viele Farbblöcke von den unterschiedlichen Farben: am seltensten gab es die seltenen weißen Blöcke, die nur zweimal im Spiel vorhanden waren, dabei jedoch für alle essentiell. So haben die beiden Spielenden mit den weißen Blöcken koaliert und hatten so die Möglichkeit, den Preis so hoch wie erwünscht anzusetzen. Dies konnte nicht verhindert werde, da in den meisten Koalitionen weiß inkludiert werden musste. Diese Strategie war allerdings nur erfolgreich, solange die Spielenden sich vertraut haben und dieses Vertrauen in keinem Fall durch Unterbieten gebrochen haben.

Kooperative Spiele

Nun folgt nach dem Blick auf die Grundlagen der kooperativen Spieltheorie der auf die Spiellösungen von Koalitionen. Um die kooperative Spieltheorie zu erklären, müssen einige Grundbegriffe geklärt werden. Zunächst:

i \in \mathbb{N}

N:Große \; Koalitionen

K\subseteq N\; Koalitionen

v(K): Koalitionsfunktion

Die Superadditivität beschreibt, dass Koalitionen in Kooperation einen höheren Nutzen erzielen als allein. Hierbei ist zu beachten, dass eine Koalition auch aus nur einem einzelnen Spielenden bestehen kann.

v(K\cup T)\geq v(K)+v(T)\quad \forall \; S \cap T = \empty

(Wiese, H., 2004, „Kooperative Spieltheorie“, S. 6-8, S. 89, S. 118-123)

Weiterführend werden die kooperativen Spiele und der Nutzen von Koalitionen betrachtet. Der durch eine Koalition zusätzlich entstehende Gewinn wird auf alle Kooperationsmitglieder*innen fair und effizient verteilt. Doch was ist eigentlich fair? Um darauf eine Antwort zu finden, betrachten wir den Kern, den marginalen Beitrag und den Shapley-Wert, um dann die Shapley-Lösung .

Der Kern oder auch Core beschreibt den Gewinn, den alle Parteien auch eigenständig erreichen können. Daher kann eine Koalitionsverhandlung nur gelingen, wenn die Parteien mindestens den Kern ausgezahlt bekommen. Um die Axiome eines Kerns zu erläutern, benötigen wir zunächst den Auszahlungsvektor x:

x = (x_1,x_2,…x_n)

Dieser ist genau dann ein Kern, wenn die gesamte Spieler*innenmenge N = {1,2,…,n} genau den Gesamtwert verteilt, also:

\sum_{i\in N }^{} x_i = v(N)

und eben die Stabilität, also dass keine Partei ihren Gewinn durch ein Verlassen der Koalition erhöhen kann. Mathematisch ausgedrückt:

\sum_{i\in S }^{} x_i \geq v(S) \quad \quad \quad \forall \quad S\subseteq N

(Wiese, H., 2004, „Kooperative Spieltheorie“, S. 143f)

Die Shapley-Lösung gibt vor, dass alle Spielenden ein durchschnittlicher Nutzen in einer Koalition zugeordnet wird, der Shapley-Wert. Der Shapley-Wert setzt sich, gewichtet durch den marginalen Beitrag, aus allen möglichen Kombinationen an Koalitionen zusammen. Im Folgenden wird der marginale Beitrag erklärt, beginnend mit der Formel:

MB_i(S) = v(S \cup \{i\}) – v(S)

Dabei ist:

i=\text{Spieler*in}

S= \text{Koalition}

v(S)= \text{Wertigkeit der Koalition}

v(S \cup \{i\})= \text{Wertigkeit der Koalition mit Spieler*in }i

Dieser gibt die Wertigkeit einer Koalitionskombination an.

Nun wird die Gewichtung betrachtet:

w(\mid S\mid )=\frac{\mid \; S\mid!(\mid N \mid – \mid S\mid – 1)!}{\mid \; N \mid !}

Die Gewichtung ist die Anzahl möglichen Koalitionen.

Anschließend lässt sich auf den Shapley-Wert schließen:

\phi_i(v) = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{\mid \; S\mid!(\mid N \mid – \mid S\mid – 1)!}{\mid \; N \mid !} \left(v(S \cup \{i\}) – v(S)\right)

(Wiese, H., 2004, „Kooperative Spieltheorie“, S. 215f)

Der Shapley-Wert ist die Summe aller marginalen Beiträge, gewichtet anhand der noch möglichen Koalitionen.

Nun wird die Shapley-Lösung mittels der Shapley-Formel und dem daher errechneten Shapley-Wert in einem Beispiel beleuchtet.

Es geht um drei Spieler*innen, die ein Spiel spielen, in welchem sie sich ein Taxi teilen wollen. Das Problem ist jedoch, dass sie unterschiedlich weit weg wohnen und daher, wenn sie sich zusammen tun, mehr bezahlen müssen. Die Koalitionsfunktion \(v \) beschreibt in diesem Falle die Strecke, die gefahren werden muss bzw. das zu zahlende Geld der Spieler*innen. Spieler*in 3 \(i_3\) muss dabei die weiteste Strecke zurücklegen.

Spieler \(i_1,i_2,i_3\) wollen mit dem Taxi an verschiedene Orte fahren. Für die Strecken bezahlen sie jeweils \(v(i_1):20, v(i_2):30,v( i_3):40\) , wenn sie sich ein Taxi teilen dann bezahlen sie nur für die längste Strecke der Spieler*innen der Koalition, also \(v_{1,2}=30\) , \(v_{1,3}=40\) , \(v_{2,3}=40\) , \(v_{1,2,3}=40\) und so weiter.

Um die Koalition \(v_{1,2,3}\) beschreiben zu können, wird die gewichtete Summe aller marginalen Beiträge benötigt. Nun wird die Koalition \(s_{1,2,3}\) aus Sicht des*der Spieler*in \(i_1\) betrachtet.

\phi_{1}=\frac{0!2!}{3!}(v_1-v_{\emptyset})+\frac{1!1!}{3!}(v_{1,2}-v_{2})+\frac{1!1!}{3!}(v_{1,3}-v_{3})+\frac{2!0!}{3!}(v_{1,2,3}-v_{2,3})

\phi_{1} =\frac{2}{6}\; (20-0)+\frac{1}{6}\; (30-30)+\frac{1}{6}\; (40-40)+\frac{2}{6}\; (40-40)

\phi_1 = 6\;\frac{2}{3}

Im Falle dieser Koalition lässt sich der Wert für \(\phi_1 = 6 \frac{2}{3}, \phi_2 = 11 \frac{2}{3},\phi_1 = 23 \frac{1}{3}\) errechnen, was bedeutet, dass der Auszahlungsvektor, hier die Kosten, dem entsprechend \(x_{Kosten}= \{ \phi_1 = 6 \frac{2}{3}, \phi_2 = 11 \frac{2}{3},\phi_1 = 23 \frac{1}{3}\}\) ist.

(aus dem Englischen: Kübler, R., 2024, „Shapley Values Clearly Explained“)

Fazit

Literaturverzeichnis

Güth, W., 1999 (2. Auflage), Spieltheorie und ökonomische (Bei)Spiele, Springer

Helmold, M., 2023, Verhandlungen gewinnen

Fisher, R., Ury, W., 2011, „Getting to yes“

Holler, M., Illing, G., 2003, „Einführung in die Spieltheorie“, Springer

Kübler. R, 2024, „Shapley Values Clearly Explained“ (28.08.26)

Wiese, H., 2004, „Kooperative Spieltheorie“

Wierach, H., 2012, ,,The Core – Der Kern eines Koalitionsspiels“ (Seminarvortrag)

Verhandlung durch mathematische Abschätzung

Verhandlung

Koalitionen

Kooperative Spiele

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