Bei deterministischen Experimenten ist der Ausgang bei gleichen Rahmenbedingungen jedes Mal derselbe und kann daher vorhergesagt werden. Sie werden oft in den Naturwissenschaften untersucht, zum Beispiel in der Physik oder Chemie (Bielagk, 2019).
Doch bei Zufallsexperimenten kann trotz gegebener Rahmenbedingungen der Ausgang nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden. Es ist zwar bekannt, welche Ausgänge möglich sind, jedoch sind auch unter gleichen Voraussetzungen die Ergebnisse des Versuchs nicht immer gleich (Bielagk, 2019).

Ein typisches Beispiel dafür ist der Würfelwurf. Der Grundraum (Menge aller möglichen Ergebnisse) kann definiert werden durch:   

                                    Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Trotzdem lässt sich im Voraus nicht wissen, welches Ergebnis eintreffen wird (Bielagk, 2019).

Um spieltheoretische Entscheidungssituationen analysieren zu können, ist es zunächst hilfreich, einige mathematische Werkzeuge kennenzulernen. Mit diesen kann man folgend strategische Entscheidungen zum Beispiel in Würfel- oder Kartenspielen bewerten und in die Entscheidungsfindung miteinbeziehen.

Zufallsvariable

Ein Werkzeug in der Stochastik ist die Zufallsvariable. Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments, also jedem möglichen Ausgang, eine reelle Zahl zuordnet. Der Großbuchstabe (i.d.R. $X$) ist hierbei die Zufallsvariable an sich, während der Kleinbuchstabe ($x_1, x_2…$) für die konkreten Werte steht, die die Zufallsvariable annehmen kann.

Es gilt: $X: \Omega → \mathbb{R}, ω ↦ X(ω)$

Das bedeutet, dass die Zufallsvariable $X$ die Menge Ω, also die Menge, die alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments umfasst, in die Menge der reellen Zahlen abbildet. Es wird also jedem einzelne Ergebnis $\omega$ genau eine reelle Zahl zugeordnet.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, wird durch $P(X=x)$ dargestellt.

Man unterscheidet zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen. Diskrete Zufallsvariablen können nur eine endliche Anzahl an Werten annehmen.

Bsp.: Es wird einmal gewürfelt.

Stetige Zufallsvariablen sind überabzählbar, können also in einem Intervall jeden Wert mit theoretisch beliebig vielen Nachkommastellen annehmen (Köhler, Bigalke, Ledworuski, Kuschnerow (2011), S.). Hierfür ist das Geburtsgewicht von Säuglingen ein Beispiel. Da man nicht die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln kann, dass ein Säugling ein exaktes Gewicht hat, betrachtet man Intervalle.

Bsp.: Die Aachener Zeitung gibt an, dass rund 37% der 2008 in Deutschland geborenen Säuglinge ein Geburtsgewicht zwischen 3000 und 3500 Gramm und 30% zwischen 3500 und 4000 Gramm hatten (Aachener Zeitung, 2010). Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person aus dem Jahrgang 2008 ein Geburtsgewicht zwischen 3000 und 4000 Gramm hatte?

Erwartungswert

Bei dem Erwartungswert handelt es sich um einen gewichteten Mittelwert aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments. Beschrieben wird der Erwartungswert durch $E(X)$ bzw. $\mu$. Um den Erwartungswert zu berechnen, muss man die Werte der Zufallsvariablen mit ihrer Wahrscheinlichkeit multiplizieren und diese Werte dann addieren. Dies lässt sich in der folgenden Formel zusammenfassen:

Mithilfe des Erwartungswertes kann man den Nutzen bestimmter Strategien ermitteln und so verschiedene Strategien bewerten.

Bei Glücksspielen ist außerdem zu beachten, dass man den Einsatz vom Erwartungswert des Gewinns abziehen muss, um die erwartete Auszahlung zu ermitteln. Ein Glücksspiel gilt als fair, wenn $E(X)=0$ (Köhler, Bigalke, Ledworuski, Kuschnerow (2011), S.240).

Bsp.: Bei einem Würfelspiel mit einem Einsatz von $2€$ wird einmal gewürfelt. Man erhält als Gewinn die Augenanzahl, die man würfelt. Ist dieses Spiel fair?

Aus dieser Berechnung kann man schließen, dass bei dem oben beschriebenen Spiel eine Auszahlung von durchschnittlich $1,50€$ zu erwarten sind. Es ist also nicht fair. Besonders ist bei diesem Spiel zu beachten, dass es sich um Laplace-Wahrscheinlichkeiten handelt, da jeder einzelne Ausgang des Spiels mit einer gleich großen Wahrscheinlichkeit eintritt.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Betrachtet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A, wenn man weiß, dass ein Ereignis B bereits eingetreten ist, dann spricht man von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch folgende Formel berechnen:

Weiß man, dass B bereits eingetreten ist, tritt A genau dann ein, wenn A∩B eintritt. A∩B ist die Schnittmenge von A und B. Sie umfasst alle Ergebnisse, die sowohl zu Ereignis A, als auch zu Ereignis B gehören. Man nimmt also gewissermaßen B als neuen Grundraum, in dem man die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, ermittelt (Bielagk (2019), S.25).

Bsp.: Bei einem Spiel wird zweimal gewürfelt. Das ist es, in der Summe der Augenzahlen genau auf 7 zu kommen. Du hast beim ersten Mal ein 4 gewürfelt. Wie wahrscheinlich ist es, dass du genau auf die 7 kommst?

Wir definieren zunächst zwei Ereignisse:

A: Summe 7 ; B: beim ersten Wurf 4

Satz von Bayes

Es gilt:

und:

Beide Formeln können umgeformt werden zu:

Wenn man dies in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzt, erhält man:

Damit ist der Satz von Bayes bewiesen.

Bsp: Es wurde zweimal gewürfelt. Du weißt, dass die Summe 7 ist. Wie wahrscheinlich ist es, dass der erste Würfel die Augenzahl 4 gezeigt hat?

Hierfür haben wir wieder die beiden Ereignisse aus „Bedingte Wahrscheinlichkeiten“:

A: Summe 7 ; B: beim ersten Wurf 4

Außerdem ist uns folgende Wahrscheinlichkeit bekannt:

Somit ergibt sich folgende Rechnung:

Literaturverzeichnis

Bielagk, J. (2019). Stochastik. https://www2.mathematik.hu-berlin.de/~bielagk/Stoch_BA_Skript_ohne.pdf

Bigalke, A., Köhler, N., Kuscherow, H., Ledworuski, G. (2011). Mathematik. Von Cornelsen

Brandt, D., Bucholzki, W., Giersemehl, I., Jörgens, T., Jürgensen-Engl, T., Lohmann, J., Riemer, W., Spielmans, H., Sonntag, R., Stump, A. (2025). Lambacher Schweizer Mathematik Qualifikationsphase Leistungskurs/ Grundkurs. Von Klett

Im Spiel „Guess who?“ versuchen zwei Spieler*innen jeweils durch Ja-Nein-Fragen aus den Karten der gegnerischen Person (Kartenpool) deren vorhergewählte Karte (geheime Karte) zu erraten. Ziel ist es, die Karte vor dem/der Gegner/-in zu finden. Jeder Spieler stellt immer abwechselnd eine Frage. Die Idee ist nicht, dass man bei jeder Karte einzeln fragt, ob es die richtige sei. Um möglichst ohne Risiko zu spielen, könnte man durch die Frage die Karten in zwei Hälften aufteilen. Durch das Ausschlussverfahren und mehrfaches Fragen gelangt man schließlich auf nur noch eine Karte. Nun stellt sich die Frage: Was ist die optimale Strategie? Wie wägt man zwischen Risiko und Gewinnwahrscheinlichkeit ab?

Der obige Graph simuliert den Verlauf des Spiels „Guess who?“ mit zwei Spieler*innen. Dabei haben beide Spieler*innen am Anfang 20 Karten. Während des Spiels ändert sich die Anzahl der Karten. Im Graphen wird das durch $n, m \in \mathbb{N}$ (x- und y-Achse) dargestellt. In jedem Zug verringert ein/-e Spieler/-in den Kartenpool um einen bestimmten Betrag. Dafür stellt er/sie eine Frage, die den Pool um $b \in \mathbb{N}$ mögliche Karten verringern kann.

Die Strategie von Spieler*in 1 (rot) ist: $b = \frac{1}{2} \cdot n$. Diese Strategie wird binäre Suche genannt. Sie bietet das geringste Risiko.

Die Strategie von Spieler*in 2 (schwarz) ist deutlich riskanter. Er*sie bemerkt, im Nachteil zu sein und immer einen Schritt hinter Spieler*in 1 zu liegen. Daher entscheidet er*sie sich für $b < \frac{1}{2} \cdot m$. Er*sie nimmt damit die Möglichkeit für einen noch größeren Nachteil in Kauf, kann dafür aber auch mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{b}{m}$  die eigene Spielsituation verbessern. Je schlechter die Position von Spieler 2, desto extremer/kleiner wählt er/sie sein b. Wenn Spieler*in 2 weit hinten liegt, muss er/sie dieses Risiko eingehen, um wieder zu Spieler*in 1 aufzuholen. Zum Beispiel hat Spieler*in 2 in seiner*ihrer dritten Runde (Spielstand: Punkt F) b = 1 gewählt, da er/sie wusste, dass Spieler*in 1 im nächsten Zug (Punkt G) auf jeden Fall gewinnen wird. Dieser letzte verzweifelte Versuch mit geringer Gewinnwahrscheinlichkeit wird manchmal auch als Hail Mary bezeichnet. Die optimale Strategie für Spieler*in 2 wäre, während er*sie im Rückstand ist, $b = 2^{\lfloor \log_2(n-1) \rfloor}$ und ist damit abhängig von der aktuellen Kartenanzahl n von Spieler*in 1. Durch die Gaußklammern wird immer auf die nächstkleinere Zweierpotenz unterhalb von n abgerundet (Nica, 2025).

Das Anpassen der Spielweise an die aktuellen Spielstände hat sich auch in unserem Kurs gezeigt. Im Verlauf des Spiels „Flip 7“ kann man seine Punktzahl erhöhen, indem man das Risiko eingeht, eine Karte vom Stapel zu ziehen. Das hängt einerseits vom Erwartungswert ab, also wie viele vorteilhafte Karten noch im Stapel sind und wie wahrscheinlich es ist, diese zu ziehen. Andererseits gibt es hier auch wieder eine Strategieanpassung wie in „Guess Who?“. Die Spieler*innen müssen immer wieder abwägen, ob es sich lohnt, das Risiko einzugehen, abhängig vom Punktestand der Gegner*innen.

Allgemein würde ich die Frage, ob sich der Spielstand auf die Spieler*innen und deren Entscheidungen auswirkt, mit Ja beantworten. Oft muss man bei Spielen, wenn man im Rückstand ist, ein Risiko eingehen. Dieses Risiko lässt sich mathematisch darstellen, um zu überprüfen, ob dadurch die Gewinnwahrscheinlichkeit steigt.  Persönlich finde ich aber, dass der Spielstand oft auch noch viele weitere Faktoren beeinflussen kann. Ein Beispiel dafür ist das Spiel „Coup“. Hier kann durch Kooperationen und Koalitionen die eigene Gewinnwahrscheinlichkeit auch deutlich erhöht werden. Jedoch hat sich beim Spielen gezeigt, dass Kooperation gegen Ende des Spiels immer schwächer werden, da nur eine Person gewinnen kann.

Literaturverzeichnis

Nica, M. (2025). Optimal Strategy in “Guess Who?”: Beyond Binary Search.

*Optimal Strategy in „Guess Who?“: Beyond Binary Search

Das Werwolf Spiel

Werwolf ist ein Spiel, bei dem die Spieler in Werwölfe und Dorfbewohner aufgeteilt werden. Die Werwölfe kennen sich gegenseitig und eliminieren nachts heimlich einen Dorfbewohner. Tagsüber diskutieren alle Spieler und stimmen darüber ab, wen sie für einen Dorfbewohner halten und aus dem Spiel wählen. Die Dorfbewohner gewinnen, wenn die gesamten Werwölfe ausgeschaltet sind; die Werwölfe gewinnen, sobald sie genauso viele oder mehr Spieler als die Dorfbewohner stellen. In der Regel haben verschiedene Dorfbewohner Sonderrollen, die es ihnen erlaubt Informationen über die Werwölfe zu sammeln oder das Spiel auf eine andere Art zu beeinflussen

Grundlegende Annahmen und Vereinfachungen

Um das Spiel einfacher mathematisch darzustellen, müssen wir einige Annahmen und Vereinfachungen machen. Nachts wählen die Werwölfe zufällig einen Dorfbewohner als Opfer aus, der in dieser Nacht ausscheidet. Am Tag wird per Zufall entschieden, wer nach der Abstimmungsphase ausscheidet. Die Werwölfe koordinieren sich nicht untereinander bei der Abstimmung. Gespielt wird, bis es gleich viele oder weniger Dorfbewohner als Werwölfe gibt oder alle Werwölfe ausgeschieden sind.

Funktionsweise des Programmes

Zu Beginn werden mehrere Packages importiert. Diese sind nötig, um zufällige Zahlen zu generieren oder die Ergebnisse in Diagrammform darzustellen. Die Genauigkeit gibt an, wie viele spiele pro Zustand (Anzahl von Werwölfen und Dorfbewohner) gespielt werden, um daraus später eine durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen.

Die darauffolgende Funktion berechnet aus zwei Eingabewerten (Anzahl der Spieler n und Anzahl der Werwölfe m) eine Gewinnwahrscheinlichkeit für die Werwölfe, den sie als Ausgabewert p ausgibt.

Der Folgende Graph gibt die Gewinnwahrscheinlichkeit für einen Werwolf bei variierender Spieleranzahl an. Dafür wird im Programm ein Höchstwert für die Spieleranzahl festgelegt und alle Situationen bis zum Höchstwert durch die oben erklärte Funktion berechnet. Im Diagramm dargestellt ergibt sich eine Funktion die näherungsweise durch 1/√x beschrieben werden kann. Um den Verlauf des Diagramms gleichmäßiger darzustellen, beschränken wir uns auf die Darstellung von geraden Spieleranzahl. Das geht darauf zurück, dass das Hinzufügen eines Dorfbewohners – also das Erhöhen der Spieleranzahl auf eine ungerade Menge – die Gewinnchance der Werwölfe erhöht. Die Gründe dafür sind mathematischer Natur (Migdał, 2010, S. 6–7).

Die Folgende Heatmap stellt die Gewinnwahrscheinlichkeit (Siegquote) der Werwölfe Abhängig vom Verhältnis von Werwölfen zu Spielern bis zu einer maximalen Spielerzahl (In diesem Fall ebenfalls 52) an. Das rote Dreieck in der oberen, linken Hälfte des Diagramms ist nicht definiert, da sonst die Anzahl der Werwölfe die Anzahl der Spieler übersteigen würde, was schlicht unmöglich ist. Ebenfalls ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die Werwölfe ab einem Verhältnis von 0,5 automatisch 100%. Interessant ist also nur der untere Teil, in dem die Gewinnwahrscheinlichkeit in etwas ausgeglichen ist.

Das Balkendiagramm vergleicht die Siegquote der Dorfbewohner mit der Spieleranzahl, wenn sich der Anteil der Wölfe an der Spieleranzahl aus der Wurzel der Spieleranzahl berechnet. Die Gewinnwahrscheinlichkeit der Werwölfe sinkt, solange mehr Dorfbewohner dazukommen. Das passiert so lange bis der Breaking Point erreicht ist und ein neuer Wolf dazukommt. Diese Mechanik liegt der logischen Annahme zugrunde keine nicht natürliche zahl an Wölfen hinzufügen zu können und ist für den stufenartigen Aufbau des Diagramms verantwortlich.

Letztendes sind diese Berechnungen und Modelle in ihrer Aussagekraft eingeschränkt und beruhen auf den Eingangs erwähnten Annahmen und Vereinfachungen. Die Diagramme dienen dazu, das grundlegende Prinzip zumindest annähernd zu beschreiben und nicht um Ereignisse im realen Leben akkurat vorherzusagen. Auch wenn diese Modelle die Realität nicht vollständig beschreiben, können sie Indizien oder Hinweise auf die Entscheidungsfindung im realen L eben liefern.

Literatur

Migdał, P. (2010). A mathematical model of the Mafia game, https://arxiv.org/pdf/1009.1031

Anhang (Code)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random
from math import sqrt

genauigkeit = 50000
print("WERWOLFSIMULATION")
print("\n")

def simu(spieler: int, werwolf: int) -> float: 
    siege = 0
    for _ in range(genauigkeit):
        n = spieler 
        m = werwolf 

        while m > 0 and m <= n // 2:

            zufall = random.randint(1, n)
            if zufall <= m:
                m = m - 1  
            n = n - 1  

            if m >= n / 2:
                break  

            n = n - 1  
    
        if m > 0 and m >= n / 2:
            siege = siege + 1

    p = siege / genauigkeit
    return p




    
#maximaler wert von n
max: int = 52
#i ist spieler und g werwolf
array = [0.0 for _ in range(0, max - 1)]
for i in range(2,max,2):
        array[i-1] = simu(i, 1)
 
print("ein Werwolf:")
plt.figure(1)
plt.plot(range(2, max, 2), [array[x-1] for x in range(2, max, 2)])
plt.xlabel("Spieler*in")
plt.ylabel("Siegquote Werwölfe")
plt.show()

print("\n") #trennen

genauigkeit = 1000
array2 = [[0 for _ in range(0,10)] for _ in range(0,max-1)]
for i in range(1,max):
    for g in range(1,11):
        if i >= g:
            array2[i-1][g-1] = simu(i, g)

plt.figure(2)
plt.imshow(np.array(array2).T, cmap='Reds', origin='lower')
plt.ylabel("Werwölfe")
plt.xlabel("Spieler*in")
plt.colorbar(label='Siegquote Werwölfe')
plt.show()

print("\n") #trennen

genauigkeit = 50000
array3 = [0.0 for _ in range(0, max - 1)]
for i in range(2,max,2):
        array3[i-1] = 1-(simu(i, int(sqrt(i))))
    
print("Anzahl der Werwölfe = Wurzel aus Anzahl der Spielern:")
plt.figure(3)
plt.bar(range(2, max, 2), [array3[x-1] for x in range(2, max, 2)], width=1.2)
plt.xlabel("Spieler*in")
plt.ylabel("Siegquote Dorf")
plt.show()