Bei deterministischen Experimenten ist der Ausgang bei gleichen Rahmenbedingungen jedes Mal derselbe und kann daher vorhergesagt werden. Sie werden oft in den Naturwissenschaften untersucht, zum Beispiel in der Physik oder Chemie (Bielagk, 2019).
Doch bei Zufallsexperimenten kann trotz gegebener Rahmenbedingungen der Ausgang nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden. Es ist zwar bekannt, welche Ausgänge möglich sind, jedoch sind auch unter gleichen Voraussetzungen die Ergebnisse des Versuchs nicht immer gleich (Bielagk, 2019).

Ein typisches Beispiel dafür ist der Würfelwurf. Der Grundraum (Menge aller möglichen Ergebnisse) kann definiert werden durch:   

                                    Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Trotzdem lässt sich im Voraus nicht wissen, welches Ergebnis eintreffen wird (Bielagk, 2019).

Um spieltheoretische Entscheidungssituationen analysieren zu können, ist es zunächst hilfreich, einige mathematische Werkzeuge kennenzulernen. Mit diesen kann man folgend strategische Entscheidungen zum Beispiel in Würfel- oder Kartenspielen bewerten und in die Entscheidungsfindung miteinbeziehen.

Zufallsvariable

Ein Werkzeug in der Stochastik ist die Zufallsvariable. Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments, also jedem möglichen Ausgang, eine reelle Zahl zuordnet. Der Großbuchstabe (i.d.R. $X$) ist hierbei die Zufallsvariable an sich, während der Kleinbuchstabe ($x_1, x_2…$) für die konkreten Werte steht, die die Zufallsvariable annehmen kann.

Es gilt: $X: \Omega → \mathbb{R}, ω ↦ X(ω)$

Das bedeutet, dass die Zufallsvariable $X$ die Menge Ω, also die Menge, die alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments umfasst, in die Menge der reellen Zahlen abbildet. Es wird also jedem einzelne Ergebnis $\omega$ genau eine reelle Zahl zugeordnet.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, wird durch $P(X=x)$ dargestellt.

Man unterscheidet zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen. Diskrete Zufallsvariablen können nur eine endliche Anzahl an Werten annehmen.

Bsp.: Es wird einmal gewürfelt.

Stetige Zufallsvariablen sind überabzählbar, können also in einem Intervall jeden Wert mit theoretisch beliebig vielen Nachkommastellen annehmen (Köhler, Bigalke, Ledworuski, Kuschnerow (2011), S.). Hierfür ist das Geburtsgewicht von Säuglingen ein Beispiel. Da man nicht die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln kann, dass ein Säugling ein exaktes Gewicht hat, betrachtet man Intervalle.

Bsp.: Die Aachener Zeitung gibt an, dass rund 37% der 2008 in Deutschland geborenen Säuglinge ein Geburtsgewicht zwischen 3000 und 3500 Gramm und 30% zwischen 3500 und 4000 Gramm hatten (Aachener Zeitung, 2010). Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person aus dem Jahrgang 2008 ein Geburtsgewicht zwischen 3000 und 4000 Gramm hatte?

Erwartungswert

Bei dem Erwartungswert handelt es sich um einen gewichteten Mittelwert aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments. Beschrieben wird der Erwartungswert durch $E(X)$ bzw. $\mu$. Um den Erwartungswert zu berechnen, muss man die Werte der Zufallsvariablen mit ihrer Wahrscheinlichkeit multiplizieren und diese Werte dann addieren. Dies lässt sich in der folgenden Formel zusammenfassen:

Mithilfe des Erwartungswertes kann man den Nutzen bestimmter Strategien ermitteln und so verschiedene Strategien bewerten.

Bei Glücksspielen ist außerdem zu beachten, dass man den Einsatz vom Erwartungswert des Gewinns abziehen muss, um die erwartete Auszahlung zu ermitteln. Ein Glücksspiel gilt als fair, wenn $E(X)=0$ (Köhler, Bigalke, Ledworuski, Kuschnerow (2011), S.240).

Bsp.: Bei einem Würfelspiel mit einem Einsatz von $2€$ wird einmal gewürfelt. Man erhält als Gewinn die Augenanzahl, die man würfelt. Ist dieses Spiel fair?

Aus dieser Berechnung kann man schließen, dass bei dem oben beschriebenen Spiel eine Auszahlung von durchschnittlich $1,50€$ zu erwarten sind. Es ist also nicht fair. Besonders ist bei diesem Spiel zu beachten, dass es sich um Laplace-Wahrscheinlichkeiten handelt, da jeder einzelne Ausgang des Spiels mit einer gleich großen Wahrscheinlichkeit eintritt.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Betrachtet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A, wenn man weiß, dass ein Ereignis B bereits eingetreten ist, dann spricht man von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch folgende Formel berechnen:

Weiß man, dass B bereits eingetreten ist, tritt A genau dann ein, wenn A∩B eintritt. A∩B ist die Schnittmenge von A und B. Sie umfasst alle Ergebnisse, die sowohl zu Ereignis A, als auch zu Ereignis B gehören. Man nimmt also gewissermaßen B als neuen Grundraum, in dem man die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, ermittelt (Bielagk (2019), S.25).

Bsp.: Bei einem Spiel wird zweimal gewürfelt. Das ist es, in der Summe der Augenzahlen genau auf 7 zu kommen. Du hast beim ersten Mal ein 4 gewürfelt. Wie wahrscheinlich ist es, dass du genau auf die 7 kommst?

Wir definieren zunächst zwei Ereignisse:

A: Summe 7 ; B: beim ersten Wurf 4

Satz von Bayes

Es gilt:

und:

Beide Formeln können umgeformt werden zu:

Wenn man dies in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzt, erhält man:

Damit ist der Satz von Bayes bewiesen.

Bsp: Es wurde zweimal gewürfelt. Du weißt, dass die Summe 7 ist. Wie wahrscheinlich ist es, dass der erste Würfel die Augenzahl 4 gezeigt hat?

Hierfür haben wir wieder die beiden Ereignisse aus „Bedingte Wahrscheinlichkeiten“:

A: Summe 7 ; B: beim ersten Wurf 4

Außerdem ist uns folgende Wahrscheinlichkeit bekannt:

Somit ergibt sich folgende Rechnung:

Literaturverzeichnis

Bielagk, J. (2019). Stochastik. https://www2.mathematik.hu-berlin.de/~bielagk/Stoch_BA_Skript_ohne.pdf

Bigalke, A., Köhler, N., Kuscherow, H., Ledworuski, G. (2011). Mathematik. Von Cornelsen

Brandt, D., Bucholzki, W., Giersemehl, I., Jörgens, T., Jürgensen-Engl, T., Lohmann, J., Riemer, W., Spielmans, H., Sonntag, R., Stump, A. (2025). Lambacher Schweizer Mathematik Qualifikationsphase Leistungskurs/ Grundkurs. Von Klett