Bei deterministischen Experimenten ist der Ausgang bei gleichen Rahmenbedingungen jedes Mal derselbe und kann daher vorhergesagt werden. Sie werden oft in den Naturwissenschaften untersucht, zum Beispiel in der Physik oder Chemie (Bielagk, 2019).
Doch bei Zufallsexperimenten kann trotz gegebener Rahmenbedingungen der Ausgang nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden. Es ist zwar bekannt, welche Ausgänge möglich sind, jedoch sind auch unter gleichen Voraussetzungen die Ergebnisse des Versuchs nicht immer gleich (Bielagk, 2019).

Ein typisches Beispiel dafür ist der Würfelwurf. Der Grundraum (Menge aller möglichen Ergebnisse) kann definiert werden durch:   

                                    Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Trotzdem lässt sich im Voraus nicht wissen, welches Ergebnis eintreffen wird (Bielagk, 2019).

Um spieltheoretische Entscheidungssituationen analysieren zu können, ist es zunächst hilfreich, einige mathematische Werkzeuge kennenzulernen. Mit diesen kann man folgend strategische Entscheidungen zum Beispiel in Würfel- oder Kartenspielen bewerten und in die Entscheidungsfindung miteinbeziehen.

Zufallsvariable

Ein Werkzeug in der Stochastik ist die Zufallsvariable. Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments, also jedem möglichen Ausgang, eine reelle Zahl zuordnet. Der Großbuchstabe (i.d.R. $X$) ist hierbei die Zufallsvariable an sich, während der Kleinbuchstabe ($x_1, x_2…$) für die konkreten Werte steht, die die Zufallsvariable annehmen kann.

Es gilt: $X: \Omega → \mathbb{R}, ω ↦ X(ω)$

Das bedeutet, dass die Zufallsvariable $X$ die Menge Ω, also die Menge, die alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments umfasst, in die Menge der reellen Zahlen abbildet. Es wird also jedem einzelne Ergebnis $\omega$ genau eine reelle Zahl zugeordnet.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, wird durch $P(X=x)$ dargestellt.

Man unterscheidet zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen. Diskrete Zufallsvariablen können nur eine endliche Anzahl an Werten annehmen.

Bsp.: Es wird einmal gewürfelt.

Stetige Zufallsvariablen sind überabzählbar, können also in einem Intervall jeden Wert mit theoretisch beliebig vielen Nachkommastellen annehmen (Köhler, Bigalke, Ledworuski, Kuschnerow (2011), S.). Hierfür ist das Geburtsgewicht von Säuglingen ein Beispiel. Da man nicht die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln kann, dass ein Säugling ein exaktes Gewicht hat, betrachtet man Intervalle.

Bsp.: Die Aachener Zeitung gibt an, dass rund 37% der 2008 in Deutschland geborenen Säuglinge ein Geburtsgewicht zwischen 3000 und 3500 Gramm und 30% zwischen 3500 und 4000 Gramm hatten (Aachener Zeitung, 2010). Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person aus dem Jahrgang 2008 ein Geburtsgewicht zwischen 3000 und 4000 Gramm hatte?

Erwartungswert

Bei dem Erwartungswert handelt es sich um einen gewichteten Mittelwert aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments. Beschrieben wird der Erwartungswert durch $E(X)$ bzw. $\mu$. Um den Erwartungswert zu berechnen, muss man die Werte der Zufallsvariablen mit ihrer Wahrscheinlichkeit multiplizieren und diese Werte dann addieren. Dies lässt sich in der folgenden Formel zusammenfassen:

Mithilfe des Erwartungswertes kann man den Nutzen bestimmter Strategien ermitteln und so verschiedene Strategien bewerten.

Bei Glücksspielen ist außerdem zu beachten, dass man den Einsatz vom Erwartungswert des Gewinns abziehen muss, um die erwartete Auszahlung zu ermitteln. Ein Glücksspiel gilt als fair, wenn $E(X)=0$ (Köhler, Bigalke, Ledworuski, Kuschnerow (2011), S.240).

Bsp.: Bei einem Würfelspiel mit einem Einsatz von $2€$ wird einmal gewürfelt. Man erhält als Gewinn die Augenanzahl, die man würfelt. Ist dieses Spiel fair?

Aus dieser Berechnung kann man schließen, dass bei dem oben beschriebenen Spiel eine Auszahlung von durchschnittlich $1,50€$ zu erwarten sind. Es ist also nicht fair. Besonders ist bei diesem Spiel zu beachten, dass es sich um Laplace-Wahrscheinlichkeiten handelt, da jeder einzelne Ausgang des Spiels mit einer gleich großen Wahrscheinlichkeit eintritt.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Betrachtet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A, wenn man weiß, dass ein Ereignis B bereits eingetreten ist, dann spricht man von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch folgende Formel berechnen:

Weiß man, dass B bereits eingetreten ist, tritt A genau dann ein, wenn A∩B eintritt. A∩B ist die Schnittmenge von A und B. Sie umfasst alle Ergebnisse, die sowohl zu Ereignis A, als auch zu Ereignis B gehören. Man nimmt also gewissermaßen B als neuen Grundraum, in dem man die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, ermittelt (Bielagk (2019), S.25).

Bsp.: Bei einem Spiel wird zweimal gewürfelt. Das ist es, in der Summe der Augenzahlen genau auf 7 zu kommen. Du hast beim ersten Mal ein 4 gewürfelt. Wie wahrscheinlich ist es, dass du genau auf die 7 kommst?

Wir definieren zunächst zwei Ereignisse:

A: Summe 7 ; B: beim ersten Wurf 4

Satz von Bayes

Es gilt:

und:

Beide Formeln können umgeformt werden zu:

Wenn man dies in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzt, erhält man:

Damit ist der Satz von Bayes bewiesen.

Bsp: Es wurde zweimal gewürfelt. Du weißt, dass die Summe 7 ist. Wie wahrscheinlich ist es, dass der erste Würfel die Augenzahl 4 gezeigt hat?

Hierfür haben wir wieder die beiden Ereignisse aus „Bedingte Wahrscheinlichkeiten“:

A: Summe 7 ; B: beim ersten Wurf 4

Außerdem ist uns folgende Wahrscheinlichkeit bekannt:

Somit ergibt sich folgende Rechnung:

Literaturverzeichnis

Bielagk, J. (2019). Stochastik. https://www2.mathematik.hu-berlin.de/~bielagk/Stoch_BA_Skript_ohne.pdf

Bigalke, A., Köhler, N., Kuscherow, H., Ledworuski, G. (2011). Mathematik. Von Cornelsen

Brandt, D., Bucholzki, W., Giersemehl, I., Jörgens, T., Jürgensen-Engl, T., Lohmann, J., Riemer, W., Spielmans, H., Sonntag, R., Stump, A. (2025). Lambacher Schweizer Mathematik Qualifikationsphase Leistungskurs/ Grundkurs. Von Klett

Vollständiger Informationsaustausch: Kartelle

Spieltheoretische Auswirkungen von Kartellen

In der freien Wirtschaft entstehen Preise durch Konkurrenz zwischen Firmen sowie Angebot und Nachfrage, da keine Preisabsprachen zwischen Firmen stattfinden. Doch wenn sich Kartelle, also Allianzen, zwischen Firmen bilden, um gemeinsam mehr Profit zu generieren, wird diese Balance ausgesetzt. Es bleibt nun zu definieren, nach welchen spieltheoretischen Konzepten Kartelle funktionieren und wie sie auch wieder zu Konkurrenz zerfallen können.

Kartelle lassen sich als oftmals versteckte Koalitionen zwischen eigentlich konkurrierenden Firmen gleicher Branchen definieren, die entweder privat oder staatlich gestützt sind. Durch Kooperation statt Konkurrenz können sie durch Preisabsprachen das Angebot-und-Nachfrage-Prinzip aushebeln, da die Kunden immer noch die Produkte auch zu höheren Preisen kaufen müssen, weil es keine alternativen Anbieter mit niedrigeren Preisen gibt. Deshalb erreichen die einzelnen Teilhabenden eines Kartells individuell höheren Profit, als wenn sie in Konkurrenz selbst niedrigere Preise fordern würden, deshalb ist die Formation des Kartells für alle Seiten gewinnbringend. Dabei geschieht dies meist in oligopolischen Branchen, in denen wenige aber verhältnismäßig starke Firmen über die Produktion herrschen (Nag, 2022).

Die Bildung eines Kartells lässt sich spieltheoretisch als Gefangenendilemma modellieren, da jede Firma individuell entscheiden muss, ob sie in die Kooperation mit den anderen Firmen eintritt und dadurch das Kartell unterstützt, oder ob sie aussteigt und als einzige Instanz mit niedrigeren Preisen einen deutlichen Marktvorteil erreicht. Abhängig ist diese Entscheidung vor allem auch von der Anzahl an Mitspielern oder potentiellen Konkurrenten und den Gewinnchancen in der Kooperation und der Defektion.

Damit ein Kartell überhaupt entstehen kann, muss die beidseitige Kooperation mehr individuellen Gewinn bringen als das preisliche Unterbieten des Gegners, worauf eine voraussichtliche Absatzsteigerung des jeweiligen Unternehmens folgen würde. Beidseitiger Eintritt in das Kartell ergibt zwei Nash-Gleichgewichte im Preis, da beide Unternehmen keinen Grund hätten, in einer Kooperation von einem hohen oder einem niedrigen Preis abzuweichen (Bowles et al., 2023).

Es gibt bei der individuellen Festlegung des Preises im Auszahlungsschema von Bowles et al. (2023) keine dominante Strategie, da man bei einem hohen Preis des Gegners von einem eigenen niedrigeren Preis zwar von höheren Absätzen, aber nicht von höheren Gewinnen profitieren würde; wenn der Gegner einen niedrigen Preis ansetzt, würde man selbst den Preis auch nicht erhöhen, da man dann keinen Gewinn mehr machen würde. Daran kann man erkennen, dass es zwar bezüglich des Preises keine strikt dominante Strategie gibt, aber durchaus bezüglich der Frage, ob man bei den gegebenen Gewinnen dem Kartell beitreten sollte: In jedem Fall erreicht man im Kartell höhere Gewinne als alleine. Die hohe Preisforderung des Kartells stellt also auch das Pareto-Optimum dar, da sie die wechselseitig beste Lösung ist.

Abbildung 1: Auszahlungsmatrix in der Modellierung eines Zwei-Parteien-Kartells (Bowles et al., 2023)

Es ist hier jedoch nötig, die Konzession zu machen, dass diese pareto-optimale Lösung nur für die beteiligten Parteien gilt, nicht für die Gesellschaft als gesamtes. Die Erhöhung der Preise durch das Kartell ist deutlich negativer für die Verbraucher, die sich ihnen wegen der Monopolisierung der Branche nicht erwehren können. Diese Nebenwirkungen werden als Externe Effekte bezeichnet, da sie für außenstehende Gruppen meist negative Folgen haben. Beispiele sind nicht nur drastische Preissteigerungen, sondern auch Umweltverschmutzung und Gesundheitsgefährdung. Dies betrifft die Firmen so lange nicht, wie sie keinen direkten Ressourcenertrag von den betroffenen Gruppen erhalten. Mithilfe der Marginal External Cost, die die Differenz zwischen Marginal Social Cost und Marginal Private Cost, das heißt den Verlusten von öffentlichen und privaten Gütern in einer Produktion, lässt sich eine balancierte Produktionsmenge festlegen, die pareto-effizient wäre. Doch durch die private Maximierung des Gewinns durch Kartelle kann sogar Marktversagen durch eine übermäßige Dysbalance der Preise hervorgerufen werden (Bowles et al., 2023).

Im genannten Fall bleibt das Kartell gesichert bestehen, da keine Partei einen Grund zur Abweichung hat. Dies würde Maßnahmen erfordern, die andere Firmen am Markteintritt hindern und dadurch das Duopol bewahren. Doch diese Situation ändert sich, sobald es mehrere Firmen im Spiel gibt, die jeweils das gleiche Ziel haben aber zwischen denen eine Mehrheit der Strategien entstehen kann.

Wenn wieder die Möglichkeiten zur Kooperation und zum Betrug bestehen, können wieder die Situationen eintreten, dass alle Firmen in das Kartell eintreten und daher alle den gleichen Profit machen. Dies wäre zwar eine gute Situation für alle Teilhabenden, aber im von Bowles et al. (2023) betrachteten Beispiel ist der Gewinn für eine einzelne Firma höher, wenn sie als einzige aus dem Kartell ausbricht und als einziger Unterbieter deutlich höheren Umsatz macht. Damit ist die Situation kein Nash-Gleichgewicht mehr, da es einen individuellen Anreiz gibt, davon abzuweichen. Somit würde eine rational handelnde Firma austreten, woraufhin die Koalition zerstört wäre und ein normales Angebot-und-Nachfrage-System wieder eintreten würde. Man kann also erkennen, dass ein Kartell mit mehreren Parteien nur stabil bleiben kann, wenn der Gewinn pro Firma stets höher bleibt, als wenn sie einzeln agieren.

Abbildung 2: Auszahlungsmatrix in der Modellierung eines Mehrparteien-Kartells (Bowles et al., 2023)

Sofern eine dauerhafte Konkurrenz eintritt, lässt sich die Situation als wiederholtes Gefangenendilemma modellieren. In diesem zahlt es sich für langfristigen Gewinn aus, eine kooperative und reaktionäre, statt einer aggressiven und unversöhnlichen Haltung einzunehmen. Nach Axelrod (1984) zeigt sich der größte langfristige Erfolg in einem solchen Spiel bei einer Strategie wie Tit for Tat (Rapoport, 1984), die nett, versöhnlich, zurückschlagend und relativ vorhersehbar spielt. Dies würde im Falle eines Kartells bedeuten, dass eine Kooperation langfristig förderlich ist, solange sich keine Partei ausnutzen lässt.

Man kann solche Strategien beim Ölkartell OPEC erkennen, da die einzelnen Staaten zwar koaliert sind, aber großteilig über längere Zeiträume hinweg die maximalen Produktionsrichtlinien überschreiten, um dennoch den eigenen Gewinn zu maximieren. Diese prekäre Balance zahlt sich nur deswegen aus, da die Preise ohne eine allgemeine Kooperation deutlich niedriger wären und damit alle Parteien einen Schaden davontragen würden (Fiveable, 2026).

Es lassen sich neben der Firmenanzahl noch weitere Faktoren für die Stabilität eines Kartells festlegen: Je nachdem, wie stark eine Firma auf Kurz- oder Langfristigkeit bedacht ist, steigt das Risiko für einen Betrug, falls sie auf schnellen Gewinn bedacht ist. Zudem ist hinreichendes Überprüfen der Parteien nötig, damit Betrug so sehr erschwert wird, dass es unattraktiv bleibt. Dies geht mit einer Transparenzpflicht für die Produktionsdaten und die Buchhaltung einher (Fiveable, 2026).

Letztlich ist ein entscheidender Faktor für das Bestehen oder Zerfallen von Kartellen neben der Vorsicht im Umgang mit rechtlichen Instanzen, die Intervention betreiben könnten, auch die Beachtung von Informationsasymmetrien zwischen den verschiedenen Parteien und das potentiell resultierende Misstrauen. Dies bewirkt, dass Kartelle mit mangelnder gegenseitiger Transparenz Konflikte über Preise durchleben können, weil ein starker Anstieg in Nachfrage und die dadurch steigenden Preise wie Betrug auf die anderen Parteien aussehen kann (Green et al., 1984).

Informationsasymmetrien spielen daher eine wichtige Rolle in der Menge an Vertrauen, die zwischen Koalitionsteilen oder anderweitigen Parteien entstehen kann.

Informationsasymmetrien

Eine Frage in der Marktwirtschaft, die 1970 von Aklerhof aufgeworfen wurde, lautet: Was passiert wenn eine Person bzw. Spieler*in auf bestimmte Informationen zugreifen können, auf die seine Mitspieler keinen Zugriff haben? Dieser Zustand wird Informationsasymmetrie genannt. Wissenschaftlich gesehen wird Informationsasymmetrie folgend definiert.
Eine Informationsasymmetrie besteht immer dann, wenn eine Partei oder Spieler*in qualitativ oder quantitativ im Vergleich zu seinem Gegenüber über mehr Informationen verfügt. Dadurch ist er in der Lage fundierte Entscheidungen zu treffen, da nicht mehr alle Optionen, sondern nur noch eine betrachtet werden muss. Folglich kann er seinen Nutzen besser maximieren.

Grundsätzlich kann zwischen Hidden Action (versteckte Handlung) und Hidden Information (versteckte Information) unterschieden werden.

Bei Hidden Action handelt es sich um eine nachvertragliche Informationsasymmetrie, bei der ein Akteur*in das Verhalten seines Transaktionspartners nicht vollständig kennt bzw. beobachten kann. Beispielsweise kann ein Unternehmer nicht vollständig nachvollziehen, wie sich ein*e Mitarbeiter*in während der Arbeitszeit tatsächlich verhält (Erlei, o. J.) Mögliche Beispiele wären:

• Auf dem Gebrauchtwagenmarkt weiß der Verkäufer*in durch die Nutzung des Autos mehr über die Qualität als der Käufer, dieser musste sich auf die Angaben des Verkäufers verlassen. Diese Unsicherheit führt zu einer verringerten Zahlungsbereitschaft.

• Ein Bewerber*in schönt seinen Lebenslauf und Qualifikationen, nun muss sich ein Unternehmen auf die diese Angaben verlassen. Der Bewerber hingegen kennt seine Fähigkeiten.

Hidden Information liegt vor, wenn ein Vertragspartner*in nicht über alle relevanten Informationen verfügt, die notwendig sind, um die Leistung oder das Verhalten des / der anderen Partner*in angemessen beurteilen zu können. Dabei betreffen die fehlenden Informationen bestimmte Umweltzustände oder Eigenschaften, die dem / der besser informierten Partner*in bekannt sind (Erlei, o. J.). Hier wären mögliche Beispiele:

• Ein Unternehmen möchte ein anderes erwerben. Das zu übernehmende Unternehmen weiß mehr über die eigene Situation, internen Probleme und Risiken.
• Ein Unternehmen könnte seine tatsächliche Umweltbelastung nicht vollständig offenlegen und beispielsweise mehr Verschmutzung verursachen als angegeben.

Ein weiteres Beispiel mit erkennbarer Reaktion des Marktes könnte die Krankenversicherung im fortgeschrittetenem Alter sein. Das Risiko medizinisch versorgt werden zu müssen steigt mit über 65 Jahren immer weiter. Dementsprechend steigen die Kosten der Versicherung um das zusätzliche Risiko zu finanzieren. Man selber kann die Gesundheit besser abschätzen, als ein Versicherungsunternehmen pauschal festlegen kann. So hat man selber, der/die Verkäufer*in, einen Informationsvorteil gegenüber dem Versicherungsunternehmen, dem Käufer. Dann entsteht das gleiche Phänomen wie bei „The Market for Lemons“ (folgen für den Gebrauchtwagenmarkt), wobei gesunde 65+ Jährige die Versicherung abbrechen, da die Kosten zu hoch werden und ein eher anfälliger 65+ Jähriger kann eine Versicherung abschließen um abgesichert zu sein. So wird die Diskrepanz zwischen gesunden Patienten/innen und anfälligeren Patienten/innen immer größer. Für das Versicherungsunternehmen wird es immer unrentabeler und muss entweder die Preise weiter erhöhen oder Patienten/innen die wahrscheinlich viel Hilfe benötigen die Versicherung verwehren.

Ein Unternehmen muss mit einem Informationsnachteil gegenüber des Bewerbers rechnen. Ein Unternehmen möchte so viel Profit wie möglich erwirtschaften, daher versucht es, als Metrik schulische Leistungen heranzuziehen. Dabei werden Schulen aus geografisch benachteiligten Lagen nicht als glaubwürdige Institution angesehen, die die Fähigkeiten einzelner Personen einschätzen kann. Die Berufsmöglichkeiten von bereits benachteiligten Schülern nehmen ab, die diese eine solche Schulform besuchen. Gerade in benachteiligten Regionen ist der Anteil von ethnischen Minderheiten erhöht, daher arbeiten weniger von ihnen in verantwortungsvollen Position (Akerlof, G., 1970, S.494f).

Die sogenannten Kosten der Unehrlichkeit beziehen sich nicht nur auf den Verlust, der von einem Käufer*in getragen werden muss, nachdem er ein Produkt erworben hat, dass nicht dem Preis-Leistungsverhältnis entspricht, sondern auch, die Anzahl an seriösen Geschäften mit qualitativ- hochwertigen Produkten, die aus dem Markt getrieben werden (Akerlof, G., 1970, S.495).

Insgesamt greift das Prinzip der „Lemons“ nach Akerlof in viele Bereiche des Marktes und hat Auswirkungen sowohl auf die Qualität von Produkten als auch auf Dienstleistungen. Asymmetrische Informationen begünstigen Unehrlichkeit, da eine Seite vorwiegend Informationen über einen bestimmten Sachverhalt besitzt und diese gezielt für den eigenen Profit ausspielen kann. Das wiederum führt dazu, dass Anbieter mit qualitativ hochwertigen Produkten zunehmend aus dem Markt gedrängt werden, da Käufer aufgrund der Informationsasymmetrie nicht zwischen qualitativ hochwertigen und minderwertigen Produkten unterscheiden können und deshalb nicht bereit sind, einen überdurchschnittlichen hohen Preis zu zahlen, welcher die Qualität möglicherweise widerspiegelt. Im Onlinehandel ist es möglich eine Bewertung der Verkäufer*in sowie Käufer*in vorzunehmen. Bei entsprechend überwiegenden negativen Bewertungen würde sich wieder eine Infomationsasymmetrie einstellen. Dieser Effekt könnte erst auftreten wenn ein*e Verkäufer*in mehrfach in Erscheinung tritt und sich eine fundierte Datenlage nach und nach aufbaut. Dadurch kann die Informationsasymmetrie wieder ausgeglichen werden und das Vertrauen in den Markt steigt auf beiden Seiten, selbst historisch risikoreiche Geschäfte konnten so wieder durchgeführt werden. (Dellarocas, H, 2003).

Literaturverzeichnis

• Akerlof, G. (1970) The market of „lemons“: Quality uncertainity and the market mechanism. The MIT press. The Market for
  „Lemons“: Quality Uncertainty, and the Market Mechanism [Accessed on 25. August 2026]
• Axelrod, R. (1984). The evolution of cooperation. Basic Books.
• Bowles, S., Carlin, W., Stevens, M. & Osei-Twumasi, O. (2023). Supply and demand: Markets with many buyers and sellers. Unit 8 in The CORE Econ Team, The Economy 2.0: Microeconomics. https://books.core-econ.org/the-economy/microeconomics/01-prosperity-inequality-01-ibn-battuta.html. [Accessed on 25. August 2026].
• Case, N. (o. D.). The evolution of trust. https://ncase.me/trust/
• Fiveable Content Team. (2026). Cartels and game theory. Fiveable. https://fiveable.me/intermediate-microeconomic
  heory/unit-5/cartels-game-theory/study-guide/gfEYpp5mTTyPMtlX. [Accessed on 25. August 2026]
• Nag, S. (2022). 11.6 Cartels. In Principles of microeconomies. eCampusOntario Pressbooks. Quelle
• Szczutkowoski, A. (2018). Revision von Informationsasymmetrie. Springer Gabler.|| https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/informationsasymmetrie-41233 [Accessed on 25. August 2026].

Abbildungsverzeichnis

• Abbildung 1: Bowles, S., Carlin, W., Stevens, M. & Osei-Twumasi, O. (2023). Supply and demand: Markets with many buyers and sellers. Unit 8 in The CORE Econ Team, The Economy 2.0: Microeconomics. https://books.core-econ.org/the-economy/microeconomics/01-prosperity-inequality-01-ibn-battuta.html. [Accessed on 25. August 2026].
• Abbildung 2: ebd.